Лекция 4.

«О вычитании «близких чисел».

Обратная задача теории приближенных вычислений.

О вычислениях без строгого учета погрешностей.»

О вычитании «близких чисел».

Пусть даны при­ближенные числа и, требуется найти их разность. Находим:. Заметим, что, то есть относительные погреш­ности данных чисел очень малы. Найдем теперь относительную погрешность разности.

.

Как видим, относительная погрешность разности почти в 5000 раз больше, чем погрешность вы­читаемого и уменьшаемого. Говорят, что при вычитании близких чисел происхо­дит потеря точности.

Точность результата при вычитании близких чисел можно повысить, если перед выполнением вычислений произвести тождественные преобразования так, чтобы избежать вычитания близких чисел. Например, пусть (под знаком радикала стоят точные числа). Это разность близких чисел. Во избежание потери точ­ности преобразуем выражение так:

.

Относительная погрешность этого приближения равна: . Если бы мы не проводили тождественных преобразований, то:,!

Обратная задача теории приближенных вычисле­ний.

Рассмотрим задачу. Требуется вычислить объем ко­нуса по формуле так, чтобы погрешность не превышала 1%. С какой точностью следует измерить радиус основания и высоту, чтобы обеспечить требуемую точность результата?

Для решения задачи следует знать грубые прибли­женные значения R и Н по недостатку. Пусть (); (). На основании теоремы об умножении приближенных чисел составляем неравенство: . Число мы можем взять с любой степенью точности, то есть можно взять сколь угодно малым. Положим пока,, то есть. Неравенство будет таково:. Мы получили одно неравенство с двумя неизвестными. Но мы можем наложить наинекоторые допол­нительные условия. Например, мы можем считать, что измеренияR и Н будут проведены при одинаковой точности измерительных инструментов. Значит, можно поло­жить . Так как

(), (),

то находим: . Отсюда. Значит, для получения требуемой точности достаточно произвести измеренияR и Н с погрешностью, не превышающей 1 мм, так как

.

Итак, в теории приближенных вычислений рассматри­ваются две основные задачи.

Прямая задача. Указаны действия, которые следует выполнить над приближенными числами (например, про­извести вычисления по данной формуле), и заданы предельные погрешности этих чисел. Требуется оценить погреш­ность результата.

Обратная задача. Указаны действия, которые нужно выполнить над приближенными числами (например, про­вести вычисления по данной формуле). Требуется установить, каковы должны быть допустимые погрешности при­ближенных чисел, чтобы полученный результат имел наперед заданную предельную погрешность.

О вычислениях без строгого учета погрешностей.

Приведенные теоремы позволяют проводить строгий учет погрешности. Применяя, например, теорему о сложении приближенных чисел, мы можем гарантировать, что при вычислении суммы 10 слагаемых, каждое из которых имеет абсолютную погрешность, не превышающую 0,005, погреш­ность суммы не превзойдет 0,05. Однако найденная таким образом граница погрешности обычно бывает значительно завышенной, она получается с большим «запасом». В дейст­вительности при сложении 10 слагаемых погрешность возрастает (в большинстве случаев) не в 10 раз, а лишь немного превышает погрешность слагаемых. Поэтому при выполнении арифметических действий над приближенными числами в тех случаях, когда не требуется строгого учета точности, установлены правила, позволяющие быстро, без громоздких исследований определить, как нужно проводить вычисления, чтобы получить результат нужной точности. Эти правила не столь точны, как правила вычислений со строгим учетом погрешностей, но во многих вычислениях вполне достаточны. Они называются правилами верных цифр. При формулировке этих правил будем считать, что число данных чисел невелико.

Правила верных цифр.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате младший сохраненный десятичный разряд должен быть тот, который соответст­вует наименее точному из слагаемых. (Например: 2,173+1,22=3,393=3,39.)

2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет при­ближенное данное с наименьшим числом значащих цифр. (Например: 30000,21=6,310².)

3. При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет воз­водимое в степень приближенное число.

4. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное значение подкоренного числа.

5. При вычислениях по формуле во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном ре­зультате эта «запасная» цифра отбрасывается.

6. Если какое-нибудь данное имеет больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то его предварительно следует округлить, сохраняя одну лишнюю цифру.