Лекция 2.

«Абсолютная и относительная погрешности.

Погрешность суммы и разности приближенных чисел.»

Абсолютная и относительная погрешности.

На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом.

Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, то есть оценить его погрешность, отличие от точного числа. Будем обозначать через x точное число, через a – приближенное число.

Определение 1.1. Истинной погрешностью приближенного числа a называется разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Таким образом, истинная погрешность приближенного числа a равна . Истинная погрешность может быть числом положительным, отрицательным или равным нулю.

Определение 1.2. Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется модуль разности между точным числом x и его приближенным значением a.

Абсолютную погрешность приближенного числа a будем обозначать . То есть,.

Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляется возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, то есть указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Другими словами, нужно знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.

Определение 1.3. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа a называется положительное число такое, что.

Последнюю формулу можно записать в виде: . Таким образом,есть приближенное значение числаx по недостатку, - по избытку. Используют также такую запись:.

Очевидно, что предельная абсолютная погрешность выбирается неоднозначно: если какое-то число является предельной абсолютной погрешностью, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству.

Пример.

Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа , взятого в качестве приближенного значения числа.

Истинная погрешность: .

Абсолютная погрешность: .

За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь. Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:.

Часто говорят, что a есть приближенное значение числа x с точностью до .

Так как термины «истинная погрешность» и «абсолютная погрешность» в дальнейшем практически не будут использоваться, предельную абсолютную погрешность будем называть просто абсолютной погрешностью. Слово погрешность употребляется, когда речь идет о действиях над числами. Когда говорят об измерениях, вместо слова «погрешность» употребляют слово «ошибка».

Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления.

Определение 1.4. Относительной погрешностью  приближенного значения a называется отношение абсолютной погрешности к модулю числаx: . Так как точное число обычно бывает неизвестно, его заменяют приближенным числом:.

Определение 1.5. Предельной относительной погрешностью приближенного числа a называется положительное число такое, что.

Так как , то.

Для краткости вместо предельной относительной погрешности будем говорить просто относительная погрешность. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример.

При взвешивании тела получен результат:г. Имеем;. Произведя деление и округляя в большую сторону, получаем.

Определение 1.6. Значащими цифрами числа называются все цифры его десятичного представления, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля.

Определение 1.7. Цифра  называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра .

Пример.

Даны приближенные числа, все цифры которых верны в узком смысле: ; ; . Предельные абсолютные погрешности этих чисел: ; ;.

Определение 1.8. Цифра  называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра .

Принимается за правило при десятичной записи приближенного числа писать только верные в широком смысле цифры. То есть при правильной записи абсолютная погрешность не превышает единицы низшего разряда.

Определение 1.9. Погрешностью округления называется погрешность, возникающая при округлении.

Пример.

Округляя точное число до двух значащих цифр, получим. Погрешность округления менее. Округляя точное числодо трех значащих цифр, получим приближенное значение. Погрешность округления не превышает.

На первый взгляд, последнее определение может показаться «примитивным». Однако это не так. Чтобы пояснить почему, рассмотрим задачу.

Задача.

Вычислить приближенно сумму ряда с точностью. Из курса анализа известно, что, если ряд является знакочередующимся и его члены убывают по абсолютной величине, то достаточно найти тот член ряда, который по модулю меньше, чем, и, сложив все предыдущие члены, мы получим приближенное значение суммы с необходимой точностью. Наш ряд удовлетворяет этим условиям. ,,,,,. (Мы здесь округляли промежуточные значения до шестого знака после запятой для того, чтобы промежуточные округления не повлияли бы на окончательный ответ.) Модуль четвертого члена меньше, чем, поэтому

.

Округляя результат до третьего знака после запятой, чтобы в ответе оставить только значащие цифры в широком смысле, получаем: . Мы можем оценить абсолютные погрешности этих двух приближений, так как числовой ряд представляет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и мы можем посчитать точное значение суммы.

;

;

.

Видно, что абсолютная погрешность первого приближения, как и должно быть, меньше . Абсолютная же погрешность второго, округленного приближения, вследствие погрешности округления, больше заданной точности.

Найти какую-либо величину (корень уравнения, интеграл и т.п.) с точностью , это означает найти такое приближенное значение величины, абсолютная погрешность которого строго меньше . При этом обычно берут , где. Причем окончательный результат округляют доn знаков после запятой. Таким образом, появляется погрешность округления, которая меньше либо равна . Поэтому договоримся при решении любой задачи каким-либо численным методом вместо брать величину так, чтобы окончательный округленный результат имел абсолютную погрешность, строго меньшую.

Вернемся к задаче. Будем теперь сначала искать сумму ряда с точностью ., а. Поэтому

.

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем: . Причем.