Понятие об адаптивных алгоритмах.

Точность интегрирования зависит не только от шага дискретизации, но и характера поведения функции на отрезке интегрирования. А поэтому было бы неплохо иметь алгоритм, который приспосабливался бы к поведению функции на отрезке интегрирования. На практике часто встречаются случаи, когда подынтегральная функция ведет себя по-разному на различных участках отрезка интегрирования.

Суть адаптивного алгоритма заключается в следующем. Отрезок интегрирования первоначально делится на n равных частей. Затем каждый элементарный отрезок подвергается делению до тех пор, пока на этом отрезке не будет достигнута заданная точность.

Пусть для интеграла получены два приближения:и– интегралы, вычисленные для двух разбиений отрезкапри шагеh и h/2. Используя правило Рунге, проверим выполнимость неравенства . Если неравенство выполняется, то за значение интеграла по элементарному отрезку берем значение. В противном случае увеличиваем число разбиений в два раза находим новое приближение. И так далее до тех пор, пока на каком-то этапе не будет выполнено неравенство

. (5.2)

Подобный процесс можно провести для всех элементарных отрезков. Интеграл будет вычислен с точностью , так как для каждого элементарного интеграла были выполнены неравенства (5.2).

Особые случаи численного интегрирования.

К особым случаям численного интегрирования относятся следующие.

1. Несобственные интегралы, то есть хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности или подынтегральная функция хотя бы в одной точке участка интегрирования обращается в бесконечность.

2. Подынтегральная функция терпит разрыв.

Рассмотрим случай разрывной функции. Если в точке имеет место разрыв первого рода, то есть левосторонний и правосторонний пределы существуют и конечны в точке разрыва, то

.

Если имеет место разрыв второго рода, то задача сводится к вычислению несобственного интеграла.

Общего метода численного нахождения несобственных интегралов не существует.

Рассмотрим случай, когда один из пределов интегрирования, например, верхний, равен бесконечности, то есть . Можно попытаться определить такое числоB – верхний предел интегрирования, для которого . Тогда

.

Можно попытаться провести замену переменной так, чтобы после преобразований промежуток интегрирования стал конечным. Например, преобразование позволяет свести промежутокк отрезку. Но нужно следить за тем, чтобы при такой замене подынтегральная функция оставалась бы ограниченной.

Рассмотрим случай несобственного интеграла, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке интегрирования. Можно попытаться выделить особенность, то есть представить подынтегральную функцию в виде так, чтобы неограниченность была сосредоточена на функции, а несобственный интеграл отможно было вычислить аналитически; функцияограничена, и к ней можно применить методы численного интегрирования. То есть

,

причем первый интеграл вычисляем численно, второй – аналитически.

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.

Рассмотрим метод ячеек на примере двойного интеграла. Сделав очевидные обобщения, его можно распространить и на случай интегралов большей кратности. Рассмотрим интеграл , гдеG – прямоугольник, ,. Из курса математического анализа известна теорема о среднем. Если подынтегральная функциянепрерывна и интегрируема, то существует такая точка, что, гдеS – площадь фигуры G. Если среднее значение функции заменить на значение функции в центре прямоугольника, то получим приближенную формулу:

. (5.3)

Точность этой формулы можно повысить, если область G разбить на части (на элементарные ячейки) и к каждой ячейке применить формулу типа (5.3). То есть если областью интегрирования является прямоугольник, дискретизируем задачу.

, ,

,

, .

Просуммируем:

.

Здесь M – количество элементарных отрезков по горизонтали, N – по вертикали.

В случае непрямоугольной области следует преобразовать независимые переменные так, чтобы область интегрирования стала прямоугольником. Пусть G – криволинейный четырехугольник.

Если сделать замену ,, то областьG перейдет в область ,.

Рис. 5.1.

Метод ячеек имеет второй порядок точности, как по направлению x, так и по направлению y. Поэтому сгущение сетки по обоим направлениям следует проводить одинаково, то есть удваивать количество элементарных отрезков нужно так, чтобы отношение оставалось постоянным.