Лекция 14.

«Минимизация оценки погрешности интерполяции.

Многочлены Чебышева.

Локальная интерполяция. Сплайны.»

Минимизация оценки погрешности интерполяции.

Многочлены Чебышева.

Поставим перед собой проблему оптимизировать оценку (4.6), то есть попытаемся сделать такой выбор узлов , чтобыбыл минимальным.

Рассмотрим отрезок . Для задачи минимизации понадобятся многочлены Чебышева.

Определение 4.1. Многочленом Чебышева приназывается следующая функция.

Очевидно, что ,. Остальные многочлены Чебышева можно получить по следующему рекуррентному соотношению:

, (4.7)

где . Действительно, используя формулы косинуса суммы и разности, получаем:

.

Тогда ,и так далее.

Укажем свойства многочленов Чебышева.

1. –многочлен степени n на ;. При четном (нечетном)n многочлен содержит только четные (нечетные) степениx. (Это следует из формулы (4.7).)

2. Старший коэффициент равен().

3. На отрезке имеет ровноn корней, которые имеют вид

, .

Действительно,

[, так как]

.

4. На отрезке принимает максимальное значение 1 ровно в (n+1) точке, которые имеют вид ,.

[, так как]

() ().

Отметим также, что

,

а, следовательно, знаки многочлена в точкахчередуются. Таким образом,.

5. Обозначим через многочлен, который получается из многочлена Чебышеванормированием, то есть приведением к виду, в котором старший коэффициент равен 1. Тогда.

Докажем, что многочлен имеет на отрезкенаименьшее значение максимума модуля среди всех многочленовn-ой степени со старшим коэффициентом 1. Допустим противное, то есть что существует многочлен степениn со старшим коэффициентом 1, причем

. (4.8)

Рассмотрим разность . Это многочлен степени не выше, чем. По свойству 4 многочленов Чебышева и благодаря (4.8) эта разность на отрезкеимеет (n+1) значение с чередующимися знаками в точках ,. Следовательно, функцияпо крайней мере вn точках имеет значение, равное нулю. Итак, многочлен степени не выше, чем (), имеетn корней. Полученное противоречие доказывает свойство 5.

Построим графики первых четырех многочленов Чебышева. Они иллюстрируют свойства этих многочленов.

Рис. 4.1.

Возьмем в качестве узлов интерполяции корни многочлена . Тогда многочленбудет пропорционален, причем он получается изследующим образом:. В этом случае оценка погрешности интерполяции будет выглядеть так:

.

Так как имеет на отрезкенаименьшее значение максимума модуля, то вышеуказанную оценку за счет другого выбора узлов интерполяции улучшить невозможно.

В случае произвольного отрезка нужно преобразовать отрезокв отрезоки в качестве узлов интерполяциивзять точки, соответствующие корням многочлена Чебышевана отрезке.

, ,.

В качестве узлов интерполяции выбираем точки

.

Локальная интерполяция. Сплайны.

Сплайном называется функция, «склеенная» из «кусков» многочленов. Точнее сплайном порядкаm с узлами ,, называется непрерывная функция, которая на каждом из элементарных отрезков,, является многочленом степени не вышеm, причем некоторая производная ,может быть разрывной.

Из определения следует, что основными характеристиками сплайна являются:

• наивысший порядок многочленов, из которых склеен сплайн;

• количество и расположение узлов интерполяции;

• степень гладкости склейки.

Для характеристики гладкости склейки сплайна в узлах применяется понятие дефекта сплайна. Говорят, что сплайн во внутреннем узле() имеет дефект, если в точкефункции,, …,являются непрерывными, ав этой точке терпит разрыв. Таким образом дефект сплайна определяется в каждом внутреннем узле. Числоназывается дефектом сплайна.