Метод Гаусса с выбором главного элемента.

При «обычном» применении метода Гаусса на k-том шаге исключается k-тое неизвестное. Это возможно, если коэффициент при k-том неизвестном отличен от нуля. Условием применимости такого метода является неравенство нулю всех угловых миноров матрицы A, то есть ,,,...,. Однако, может оказаться, что системаимеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицыA равен 0. Кроме того, заранее обычно неизвестно, все ли угловые миноры матрицы A отличны от 0. Отметим также, что если в процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые достаточно малы по сравнению с другими элементами матрицы, то это способствует увеличению погрешностей округлений (при делении на маленькие числа погрешность возрастает).

Избежать указанных недостатков «обычного» метода Гаусса позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.

Пусть, как и прежде, дана система . Сначала добиваются выполнения условий,путем перестановки в случае необходимости двух уравнений системы. Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный при перенумерации через, называют первым главным элементом. Исключивиз всех уравнений, начиная со второго, получим систему

.

Далее с полученной системой без первого уравнения поступим аналогично, как и со всей системой . А именно, осуществив, если нужно, перестановку двух уравнений и произведя соответствующую перенумерацию, обеспечиваем выполнение неравенств,. Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный, называется вторым главным элементом. Исключивиз всех уравнений, начиная с третьего, получим систему

.

Если определитель системы отличен от нуля, то после-го шага будет получена система вида

.

Заметим, что можно на k-ом шаге искать главный элемент не только в k-ом столбце на местах ниже диагонального, а во всех столбцах, начиная с k-го и кончая m-ым, и во всех строках, начиная с k-ой, кончая m-ой. Преимущество этой модификации заключается в том, что погрешность округлений будет еще меньшей, однако этот метод не очень удобен для реализации вследствие перестановок столбцов, что приведет к перенумерации не только коэффициентов, но и неизвестных.

Описанные выше рассуждения называют прямым ходом метода Гаусса.

Обратный ход будет заключаться в последовательном определении ,, …,.

Заметим, что применение метода Гаусса с выбором главного элемента позволяет вычислить определитель матрицы A по формуле

,

где k – число перестановок строк и столбцов на всех шагах приведения матрицы к треугольному виду. Заметим также, что описанный выше алгоритм можно использовать в различных задачах линейной алгебры: при вычислении рангов матриц, при нахождении обратной матрицы и так далее.

Если определитель матрицы равен нулю, то это обстоятельство выяснится при вычислениях, так как на некотором шаге окажется равным нулю главный элемент или элемент .

Лекция 10.

«Метод прогонки решения систем алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей.

Достаточные условия применимости метода прогонки.

Итерационные методы. Метод простых итераций.»

Метод прогонки решения систем алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей.

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая разряженных систем трехдиагональной матрицы, которые возникают при моделировании некоторых инженерных и краевых задач.

Рассмотрим следующую задачу:

, (3.1)

где ,,,,для всех. Матрица этой системы

содержит нули везде кроме главной диагонали и двух соседних и является трехдиагональный. Это система линейных алгебраических уравнений относительно величин ,, …,.

Будем находить неизвестные по следующей формуле:() с неизвестными коэффициентами прогонкии(). Подставимв (3.1).

,

,

,

.

Так как это равенство выполняется для любого , тои. Итак для

(3.2)

(3.3)

Это прогоночные коэффициенты. Для определения изаметим, чтои. Отсюда видно, чтои. Знаяи, из (3.2) и (3.3) определим все прогоночные коэффициенты. Этот процесс называется прямым ходом прогонки:.

Далее заметим, что по условию . С другой стороны. Итак

, .

Теперь, зная , можно найти все(). Этот процесс называется обратным ходом прогонки.

Метод прогонки является точным методом, а, следовательно, результат, отвлекаясь от погрешностей вычислений, можно считать точным.