4. Множество рациональных чисел в дальнейшем будем обозначать буквой q. Остановимся на рассмотрении свойств этого множества.

Прежде всего отметим, что множество целых чисел Z является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть Z Ì Q.

Действительно, обозначим через С множество рациональных чисел вида . Таким образом, Î С тогда и только тогда, когда среди дробей, эквивалентных , содержится дробь вида , так что ~ , или с = аd.

Очевидно, что = в том и только том случае, когда a = b. Результаты арифметических операций над элементами множества С не выводят нас из этого множества. Действительно,

+ = .

Аналогично:

× = и – = .

Если a b, то есть a = nb, где n Z, то

: = .

Отождествим рациональное число с целым числом a. Тогда множество С будет совпадать с множеством Z целых чисел. Операции сложения, умножения и вычитания определены в нем и обладают известными свойствами. В дальнейшем рациональное число обозначаем просто через a и называем целым числом.

Из того, что Z Ì Q , следует бесконечность множества Q, а также отсутствие в нем наименьшего и наибольшего элементов.

Если разделить целое число а = на целое число b = ¹ 0, то получим a : b = : = . Следовательно, рациональное число есть частное целых чисел а и b ¹ 0. Но в таком случае дробь можно рассматривать как частное а : b и наоборот. Поэтому в дальнейшем рациональное число будем обозначать дробью и понимать как частное двух целых чисел а и b ¹ 0.

Приведенные выше правила арифметических действий над рациональными числами в новых обозначениях выглядят следующим образом:

+ = ; – = ;

× = ; : = .

Если даны две дроби и , то, используя основное свойство, можем записать: ~ и ~ . Очевидно, что дроби и имеют одинаковые знаменатели.

Процесс перехода от дробей и к эквивалентным им дробям и с одинаковыми знаменателями называется приведением дробей к общему знаменателю.

Если дроби и имеют одинаковые знаменатели, то их сумма и разность находятся по следующим правилам:

+ = ; – = .

Как уже отмечалось, всякая дробь может быть приведена к несократимой дроби с положительным знаменателем. Поэтому общность рассуждений не нарушится, если в дальнейшем всюду будем рассматривать только дроби с положительными знаменателями. Если , то дробь называется правильной, если же , то неправильной.

Например, дроби являются правильными, а дроби – неправильными.

Теорема 12. Любое рациональное число единственным образом представимо в виде: = q + , где q – целое число, а – правильная несократимая дробь, то есть 0 ≤ с < d, НОД (с; d) = 1.

Доказательство существования. Прежде всего заметим, что считаем b > 0. Далее разделим а с остатком на b и получим а = bq + r, 0 < r < b. Тогда = q + . Пусть НОД(r, b) = k, тогда r = kc, b = kd, где НОД(с, d) = 1. Сокращая дробь на k, получим = q + , что и дает требуемое представление.

Доказательство единственности. Пусть имеем два указанных представления рационального числа : = q₁ + и = q₂ + , здесь 0 ≤ с₁ < d₁, НОД (с₁; d₁) = 1, 0 ≤ с₂ < d₂, НОД (с₂; d₂) = 1. Тогда а = bq₁ + и а = bq₂ + . Так как а – целое число, bq₁ и bq₂ также целые числа, то и являются целыми числами. Кроме того, в силу единственности деления с остатком, можем записать равенства: bq₁ = bq₂ и = или q₁ = q₂ и = .

Из последнего равенства можем записать: ; . Поскольку НОД (с₁; d₁) = 1 и НОД (с₂; d₂) = 1, то d₁ d₂ и d₂ d₁. Но d₁ > 0 и d₂ > 0, а значит, деление возможно только при условии d₁ = d₂. Отсюда имеем с₁ = с₂.

Итак, мы установили, что q₁ = q₂, d₁ = d₂, с₁ = с₂, то есть единственность доказана.

Рассмотрим примеры:.

Последнее равенство можно переписать иначе:

Числа вида и записываются, соответственно, и и называются смешанными числами.

Таким образом, любая неправильная дробь может быть единственным образом записана в виде смешанного числа.

Теорема 13. Если дроби и представляют одно и то же рациональное число, то произведения аb и cd имеют один и тот же знак или равны нулю одновременно.

Доказательство. Прежде всего, напомним, что эквивалентность дробей и означает справедливость равенства ad = bc. Рассмотрим два случая.

1. Пусть ab ¹ 0, тогда a ¹ 0. Кроме того, d ¹ 0 как знаменатель дроби. Следовательно, ad ¹ 0, но тогда из равенства ad = bс следует, что bс ¹ 0, а так как b > 0, то с ¹ 0. Далее рассмотрим произведение (ab)(cd) = (ad) (bс) = (bс)² > 0, из которого следует, что ab и cd имеют одинаковые знаки.

2. Пусть теперь аb = 0, тогда a = 0, поскольку b ¹ 0 как знаменатель дроби. Но, в таком случае, из равенства ad = bс = 0 следует, что bс = 0, а поскольку b ¹ 0, имеем с = 0. Это означает, что cd= 0 и теорема доказана.

Определение 19. Рациональное число (b > 0) называется положительным, если a > 0, и отрицательными, если а < 0.

Поскольку произведение аb является целым числом, то оно удовлетворяет точно одному из условий: аb > 0; аb < 0; аb = 0. Но тогда, согласно теореме 13, для также выполняется точно одно из трех условий:

положительно; отрицательно; – нуль.

Множество положительных рациональных чисел будем обозначать символом Q₊, а множество отрицательных рациональных чисел – символом Q_–.Таким образом, Q = Q_ È {0} È Q₊.

Теорема 14. Сумма и произведение положительных рациональных чисел являются положительными рациональными числами.

Доказательство. Положительность чисел и означает выполнимость условий аb > 0 и cd > 0. Умножая обе части первого неравенства на d² > 0, а второго – на b² > 0 и складывая их, получим abd² + cdb² > 0. Последнее неравенство можно записать в виде (ad + bc)bd > 0, что означает положительность числа + = .

Аналогично из неравенств аb > 0 и cd > 0 следует, что (ab)(cd) = (ac)(bd) > 0. Последнее неравенство означает положительность числа · = , и справедливость теоремы доказана.

Определение 20. Говорят, что рациональное число меньше рационального числа , если существует положительное рациональное число такое, что выполняется равенство + = .

.

Если меньше , то говорят также, что больше и пишут: > .

Символы ≤ и ³ понимаются так же, как и во множестве целых неотрицательных чисел. Из данного определения вытекают важные следствия, выражающие правила сравнения дробей.

Следствие 1. .

Доказательство. Пусть < , тогда, по определению 20, существует положительное рациональное число такое, что выполняется равенство + = . По правилу сложения дробей , откуда следует, что and+bmd = bnc. Обе части последнего равенства разделим на число п ¹ 0. Полученное равенство ad + bd · = bc означает, что ad < bс, так как bd · > 0.

Справедливость обратного утверждения вытекает из того, что все преобразования, приведенные в первой части доказательства, выполнимы в обратном порядке. Таким образом, справедливость следствия можно считать доказанной.

Следствие 2. Если n Î N, то ,

то есть из двух дробей с одинаковыми положительна знаменателями меньше та, у которой меньше числитель.

Справедливость этого утверждения легко доказать, если учесть, что дроби всегда можно привести к общему знаменателю. А значит, общность не нарушится, если будем считать, что из неравенства следует существование положительного рационального числа , такого, что + = . Далее, по правилу сложения дробей, можем записать равенство . Откуда, учитывая определение равенства дробей, имеем а + т = b. Так как m > 0, то из последнего равенства следует, что а < b.

Аналогично доказывается справедливость обратного утверждения.

Определение 21. Рациональное число называется противоположным рациональному числу , если выполняется равенство + = 0.

Число, противоположное числу , будем обозначать – .

Аналогично определению 8 модуля целого числа можно сформулировать определение модуля рационального числа.

Теорема 15. Для любых , Î Q имеет место точно одно из трех соотношений: < ; = ; <.

Доказательство. Рассмотрим разность – . Она, как известно из теоремы 10, является числом рациональным и имеет вид . Согласно определению 19, рациональное число может быть числом положительным, равным нулю или отрицательным. По определению разности (17), можем записать равенство = + , из которого следуют 3 случая:

1. Если > 0, то, по определению 20, < .

2. Если = 0, то, по правилу сложения с нулем, = .

3. Если < 0, то рациональное число – > 0 или > 0. Далее рассмотрим разность – . Она выражается рациональным числом . Пользуясь определением разности, можем также записать равенство = + , из которого следует, что < , и справедливость теоремы доказана.

Теорема 16. Бинарное отношение «меньше» (больше) на множестве Q обладает свойством транзитивности:

.

Доказательство. Пользуясь определением 20 отношения «меньше», можем записать:

;

.

Из двух последних равенств имеем:

, или .

Поскольку , то, по определению отношения «меньше», можем записать, что < , и транзитивность доказана.

Аналогично можно доказать транзитивность отношения «больше».

Таким образом, рассмотренные отношения «меньше» и «больше» на множестве рациональных чисел Q обладают свойствами асимметричности, транзитивности и связности, а значит, являются отношениями строгого линейного порядка.

Итак, множество рациональных чисел Q является линейно упорядоченным.

Теорема 17. Между двумя различными числами из множества Q заключено бесконечно много чисел того же множества.

Доказательство. Рассмотрим два произвольно выбранных рациональных числа. Не нарушая общности рассуждений, представим эти числа дробями и , имеющими общий знаменатель. Для определенности положим, что < . Из последнего неравенства следует, что а < b. Рассмотрим рациональное число, представляемое дробью . Так как а < b, то 2а < а + b < 2b, a поскольку п > 0, можем записать , или .

Итак, мы показали, что между любыми двумя числами из множества Q заключено хотя бы одно число, также принадлежащее множеству Q.

Далее, рассматривая числа и , можно указать хотя бы одно рациональное число, заключенное между ними. Аналогично для чисел и . Продолжая описанный процесс, мы найдем между числами и бесконечно много различных чисел из множества Q.

Теорема 17 выражает свойство, называемое плотностью.

Теорема 18. Для любых двух рациональных чисел > 0 и у = найдется натуральное число п такое, что выполняется неравенство пх > у.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если > , то достаточно взять п = 1, так как 1 · = > .

2. Если же 0 < ≤ , то по следствию 1 из определения 20 0 < ad ≤ bc. Во множестве целых чисел выполняется свойство Архимеда, то есть для положительных целых чисел ad и bс найдется натуральное число n такое, что nad > bc. Из последнего неравенства следует: n · = > . Теорема доказана.

Свойство множества рациональных чисел, выраженное теоремой 18, называется свойством Архимеда.

Таким образом установлено, что множество Q рациональных чисел обладает следующими свойствами: оно бесконечное, линейно упорядоченное, плотное, в нем нет наибольшего и наименьшего чисел и выполняется свойство Архимеда.

Кроме того, множество рациональных чисел Q образует числовое поле относительно операций сложения и умножения.

5. Рассмотрим прямую l и точку О на ней. Выберем отрезок е = ОА в качестве единицы измерения. Прямая l разбивается точкой О на два луча: положительный (правый) – тот, на котором находится точка А, и отрицательный (левый). Рациональному числу х = (n Î N) поставим в соответствие точку М = M (x) на прямой l по следующему правилу.

Разбиваем единичный отрезок е = ОА на n равных частей. Пусть e₁ = ОВ – одна из этих частей, так что е = пе₁. Последнее равенство будем также записывать в виде: .

O e₁ B A M

e x

Рис. 4

Если m > 0, то откладываем отрезок e₁ от точки О вправо m раз. В результате получим точку М на положительном луче (рис. 4).

Если же m < 0 , то откладываем отрезок e₁ от точки О влево |m| раз. Точка М в этом случае будет лежать на отрицательном луче.

Найденную таким образом точку М поставим в соответствие числу х = . При этом число х = называем координатой точки М.

Отрезок ОМ будем считать направленным, то есть точка О считается началом этого отрезка, а точка М – его концом.

Два направленных отрезка ОМ и ОР называются равными (пишут ОМ = ОР) тогда и только тогда, когда равны их длины и совпадают направления. Учитывая это соглашение, можем записать: ОМ = m e₁. А поскольку e₁ = , то окончательно имеем ОМ = е. Последнее равенство надо понимать следующим образом: длина отрезка ОМ равна модулю числа ; отрезок ОМ направлен в ту же сторону, что и отрезок е = ОА, если > 0, и в сторону, противоположную е, если < 0.

Итак, каждому рациональному числу х = поставлена а соответствие точка М = М(х) прямой l. Отметим ряд свойств этого соответствия.

1) Каждому рациональному числу соответствует единственная точка на прямой l. Другими словами, если дробь х = несократима и М = М(х) – соответствующая ей точка, то дроби = , где р Î N, будет отвечать та же самая точка М прямой l. Действительно, пусть М^* – точка, отвечающая числу . Покажем, что точки М и М^* лежат на одном и том же луче прямой l, поскольку числа и имеют один и тот же знак.

Далее, для того чтобы найти точку М^*, соответствующую числу , следует разделить отрезок е на рп равных частей (или, что то же самое, отрезок е₁ = разделить еще на р равных частей) и полученный таким образом отрезок отложить от точки О раз в соответствующем направлении.

Но отрезок ОМ, построенный для дроби , представляет собой сумму отрезков, каждый из которых по длине равен отрезку е₁, а отрезок е₁, в свою очередь, есть сумма р отрезков, равных , а значит ОМ представляет собой сумму отрезков, равных по длине е₂. Так что точки М^* и М совпадают.

2) Различным рациональным числам соответствуют различные точки прямой l.

Рассмотрим два различных рациональных числа, представленных дробями х₁ = и х₂ = , где b > 0, d > 0. Поскольку ¹ , то ad ¹ bс. Покажем, что соответствующие им точки М₁ = М(х₁) и М₂ = М(х₂) на прямой l также различны.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что М(х₁) = М(х₂) = М. Поскольку х₁ = – координата точки М, то, разбив единичный отрезок е на b равных частей, получим отрезок е₁ такой, что е = bе₁ и ОМ = aе₁. Аналогично, поскольку – координата той же самой точки М, найдем отрезок е₂, такой, что е = d е₂ и ОМ = се₂. Из равенств ОМ = ае₁ и ОМ = се₂ имеем: ае₁ = се₂. Умножая последнее равенство на bd ¹ 0, получим ad(bе₁) = cb(dе₂). Откуда, учитывая, что е = bе₁ и е = de₂, находим ade = cbe, что влечет за собой равенство ad = bс, а значит, = . Пришли к противоречию с условием ¹ . Требуемое доказано.

3) Целому числу k = отвечает та же самая точка М Î l, которая была поставлена ему в соответствие.

Действительно, поскольку знаменатель дроби равен единице, то откладываем единичный отрезок е целиком (не деля его на части) от раз от точки О вправо, если k > 0 , и влево, если k < 0. В результате получаем точку М, координатой которой будет число k.