Элементы функционального анализа
.pdf
|
11 |
2) |
на множестве R; |
3) |
на множестве Z. |
Решение. |
|
1)Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для точки
пара (2, 2) |
; не является симметричным, поскольку, например, пара |
|||||||||
|
, а пара (3, 1) |
; не является антисимметричным, |
поскольку, |
|||||||
например, пары (1, 2) и (2, 1) принадлежат отношению, но |
; не является |
|||||||||
транзитивным, поскольку, например, |
пары |
и |
принадлежат |
|||||||
отношению, а пара |
не принадлежит. |
|
|
|
|
|
||||
2) |
Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой |
|||||||||
точки |
разность |
|
|
, т.е. |
; является симметричным, |
|||||
поскольку |
принадлежность |
любой |
пары |
отношению |
|
означает |
||||
|
, но тогда |
|
|
, т.е. |
пара |
; |
не является |
|||
антисимметричным, |
поскольку, |
например, |
пары |
|
|
|
и |
|||
|
, но |
|
; является транзитивным, поскольку для любых |
|||||||
|
принадлежность пар |
|
и |
(y, z) отношению |
означает |
|||||
|
и |
|
|
, |
но тогда |
|
|
|
, |
т.е. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех |
|||||||||
пар |
только пара |
|
, ведь для всех остальных |
|
не |
|||||
выполнено |
равенство |
|
; |
не |
является |
симметричным, |
поскольку, |
|||
например, |
пара |
|
|
|
, а пара |
|
|
|
; |
|
является |
антисимметричным, |
поскольку |
для |
любых |
пар |
|||||
|
|
одновременно выполняются равенства |
|
|
и |
|||||
, |
т.е. |
и |
|
, но это может быть только в том случае, |
||||||
если |
; не |
является транзитивным, |
поскольку, |
например, |
пара |
|||||
|
|
, |
пара |
|
|
|
|
, |
но |
пара |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12
1.5 Отображение множеств
Пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу M поставлен в соответствие один и только один элемент N. В случае
множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.
Если a – элемент из M, то соответствующий ему элемент b=f(a) из N называется образом элемента a. Совокупность всех элементов из M, образом которых является данный элемент bN, называется прообразом элемента b и
обозначается(b).
Пусть А – некоторое подмножество из M; совокупность {f(a):aA} всех элементов вида f(a), где aА, называется образом подмножества А и
обозначается f(А). В свою очередь для каждого подмножества B из N определяется его прообраз подмножества (B), а именно: (B) есть совокупность элементов из M, образы которых принадлежат B. Может оказаться, что ни один элемент b из B не имеет прообраза, тогда полный прообраз(B) будет пустым множеством.
Установим основные свойства отображений.
Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:
(AB)= (A) (B).
Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:
(AB)=(A) (B).
Теорема 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов:
f(A B)= (A) (B).
Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.
13
2.ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
2.1Свойства действительных чисел
Операция сложения.
Для любых двух чисел a и b определено единственным способом число, называемое их суммой и обозначаемое a + b. Сумма обладает свойствами:
1.Для любых a и b выполняется a + b= b + a. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом сложения.
2.Для любых a, b, с выполняется a + (b + с)= (a + b)+c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения.
3.Существует число 0, называемое нулем, такое, что для любого числа a выполняется a + 0= a.
4.Для любого a существует число, обозначаемое -a и называемое противоположным данному, такое, что a +(-a)=0.
Далее вместо a +(-b) будем писать a - b.
Операция умножения.
Для любых двух чисел a и b определено единственным способом число,
называемое их произведением и обозначаемое |
a b. Произведение обладает |
|
свойствами: |
|
|
5. |
Для любых a и b выполняется a b= b a. Это свойство называется |
|
|
переместительным (коммутативным) законом умножения. |
|
6. |
Для любых a, b, с выполняется a (b |
с)= (a b) c. Это свойство |
|
называется сочетательным (ассоциативным) законом умножения. |
|
7. |
Существует число 1, называемое единицей, такое, что для любого |
|
|
числа a выполняется a 1= a. |
|
8.Для любого a0 существует число, обозначаемое и называемое обратным данному, такое, что a =1.
14 |
|
Связь операции сложения и умножения |
|
9. Для любых a, b, с выполняется (a + b) с = a |
c + b c. Это |
свойство называется распределительным (дистрибутивным) законом |
|
умножения относительно сложения. |
|
Упорядоченность. |
|
Для любых двух чисел a и b определено одно из соотношений a < b (a |
|
меньше b), a = b (a равно b), a > b (a больше b) так, |
что выполняются |
свойства: |
|
|
|
|
|
10. |
Если a > b , то для любого свыполняется a + c > b + c. |
|
|||
11. |
Если a > b, то для любого с > 0 выполняется a |
c > b |
c. |
|
|
Свойство непрерывности. |
|
|
|
|
|
12. |
Каковы бы ни были непустые множества |
|
у которых |
||
для любых элементов a A, |
b B выполняется неравенство a |
то |
|||
существует такое число z, |
что для всех x A, |
y B |
выполняется |
||
x |
. |
|
|
|
|
2.2 Числовые промежутки
Отрезок, интервал, полуинтервал записываются соответственно как
[a,b]={x : a x b}, (a,b)={x : a x b}, [a,b)={x : a x < b}, (a,b]={x : a x b}.
Бесконечные промежутки записываются: |
|
||
(a, +∞)={x :x > a}, |
(-∞,a) = {x :x < a}, |
(-∞,+∞)={x :x R}. |
|
Интервал (а – а |
), где |
, называют |
– окрестностью точки а |
и обозначают(а).
15
2.3.Точные грани числовых множеств
Множество X действительных чисел ( |
) называется ограниченным |
||
сверху, если существует число c |
такое, что все элементы множества X не |
||
превосходят c, т.е. |
|
|
|
Множество |
называется ограниченным снизу, если существует |
число dтакое, что все элементы множества X не меньше d, т.е.
Множество называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т.е.
Последнее условие равносильно условию
Если множество ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающее его сверху, называют его точной верхней гранью или супремумом (supremum).
Число a |
является точной верхней гранью множества , если |
выполняются следующие условия: |
|
1) |
а; |
2) |
a – . |
Точная верхняя грань множества обозначается sup X.
Если множество ограничено снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающее его снизу, называют его точной нижней гранью или инфинумом (infinum).
Число b |
является точной нижней гранью множества , если |
выполняются следующие условия: |
|
1) |
b; |
2) |
b + . |
Точная нижняя грань множества обозначается inf X.
16
Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут sup X = +∞
(соответственно inf X =- ∞). |
|
Пример 1. Доказать, что множество X= {1, |
} |
ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.
|
Решение. При любом натуральном n |
выполняются неравенства |
0< |
, поэтому множество X ограничено. |
|
Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества X, т.е. что sup X =1. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо
показать , что |
для любого |
существует |
n такое, что выполняется |
неравенство |
. |
|
|
Очевидно, |
что при n=1 выполняется |
, а это и доказывает |
утверждение - sup X =1.
Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью
множества X. Для этого надо проверить, что для любого |
существует n |
такое, что выполняется неравенство |
|
. |
(1) |
Действительно, решая неравенство (1), получаем |
. Взяв какое- |
нибудь натуральное число , получим требуемое n, а это, согласно
определению точной нижней грани, и означает, что inf X =0.
Отметим, что данному множеству X точная верхняя грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит множеству X и в этом множестве нет наименьшего числа.
17
3. МЕРА ПЛОСКОГО МНОЖЕСТВА
Рассмотрим систему Ω множеств на плоскости (x, y), каждое из которых определяется одним из неравенств вида
a x
иодним из неравенств вида
c y
где a, b, c, d – произвольные числа. Множества, принадлежащие этой системе,
мы будем называть прямоугольниками.
Для каждого из прямоугольников определим его меру m(P), в соответствии с понятием площади, следующим образом:
а) мера пустого множества равна нулю;
б) мера непустого множества равна (b - a)(d – c). При этом выполнены следующие условия:
1)мера m(P) принимает действительные неотрицательные значения;
2)мера аддитивна, т.е. если P = и при i, то
m(P)=
Назовем плоское множество элементарным, если его можно представить как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.
Теорема 1. Объединение, пересечение и разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами.
Определим меру m(A) для элементарного множества следующим образом: если A=, где - попарно непересекающиеся прямоугольники, то
m(A)= |
. |
|
Теорема 2. Если A - элементарное множество и { |
} – конечная или |
|
счетная система элементарных множеств такая, что A |
, то |
m(A)=
Значения меры могут быть как конечными, так и бесконечными. Определим две функции и следующим образом.
|
18 |
Верхней мерой |
множества A называется число |
|
, |
где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества A конечными или счетными системами прямоугольников.
Нижней мерой |
множества A называется число |
|
|
|
, |
где верхняя грань берется по всевозможным |
конечным или счетным системам |
|
прямоугольников, вложенным в множество A. |
||
Множество A |
называется измеримым (в смысле Лебега), если |
|
. |
Общее значение |
верхней и нижней мер для |
измеримого множества A называется его лебеговской мерой.
4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Линейным пространством называется множество , в котором
определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим условиям:
I) Для любых двух элементов x, y |
однозначно определен третий |
|
элемент z |
, называемый их суммой |
и обозначаемый x+y, причем |
выполняется
1)x+y=y+x (коммутативность);
2)x+(y+z)= (x+y)+z (ассоциативность);
3)в существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=0 для всех x ;
4)для любого x существует противоположный элемент -x
такой, что x+(-x)=0 (существование противоположного элемента);
II) для любого числа a и любого элемента x |
определен элемент |
|
ax |
(произведение элемента x на число a), причем |
|
1) |
; |
|
19
2) 1 ;
III) Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:
1) ;
2) .
Пример 1. Прямая линия, т.е. совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство.
Пример 2. n–мерное векторное пространство, т.е. совокупность всевозможных систем n действительных чисел x=( где сложение и умножение на число определяются формулами
( |
|
( |
( |
также является линейным пространством. Оно называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается символом .
Пример 3. Непрерывные действительные функции на некотором отрезке [a, b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на число
образуют линейное пространство |
. |
|
Элементы x, y,…, w линейного |
пространства |
называются линейно |
зависимыми, если существуют различные числа |
, не все равные |
|
нулю, такие, что |
|
|
|
|
(2) |
В противном случае данные элементы называются линейно |
||
независимыми. Иначе говоря, элементы |
x, y,…, w линейно независимы, если |
|
из равенства (2) вытекает, что |
|
|
|
= 0. |
|
Бесконечная система элементов x, y,…, w,… пространства называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима.
Если в пространствеможно найти n линейно независимых элементов, а
любые n+1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что
20
пространство имеет размерность n. Если же в можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят,
что пространство |
бесконечномерно. |
|
|
|
Базисом в |
n-мерном пространстве называется |
любая |
система из |
n |
линейно независимых элементов. Пространство |
имеет |
размерность |
n, |
|
оправдывая тем самым свое название. |
|
|
|
|
Пример 4. Одним из базисов в пространстве |
является система |
|||
векторов |
|
|
|
|
…………………..
5. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Числовую функцию f, определенную на некотором линейном пространстве , мы будем называть функционалом. Функционал f называется аддитивным, если
f (x+y)= f (x) + f (y) для всех x, y ;
он называется однородным , если
|
f ( |
= |
|
( число). |
Пример 1. Пусть |
- n -мерное арифметическое пространство с |
|||
элементами |
x=( |
и |
a=( |
- фиксированный |
элемент из |
. Тогда |
|
|
|
f(x)=
- линейный функционал в . Пример 2. Интеграл
I(x)=
представляет собой линейный функционал в пространстве .