ДМ Практикум

Элементарными конъюнкциями (дизъюнкциями) называются конъюнкции

(дизъюнкции) переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)

называется дизъюнкция элементарных конъюнкций. Совершенной дизъюнк- тивной нормальной формой (СДНФ) называется ДНФ, каждая конъюнкция ко- торой содержит все переменные или их отрицания. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) опре-

деляются аналогично.

f (x1 , x2 ,..., xn ) , если f * (x1 , x2 ,..., xn ) = f (x1 ,..., xn ) .

Принцип двойственности: если в формуле F, реализующей функцию f, заме- нить все знаки функций на знаки двойственных функций, то полученная фор- мула F * будет реализовывать функцию f * , двойственную к f.

Множество логических функций с заданным на нем базисом {&, Å,1} об- разует алгебру Жегалкина. В алгебре Жегалкина выполнены все равносильно- сти булевой алгебры, касающиеся конъюнкции, а также следующие равносиль- ности:

18.x Å y = y Å x ;

19.x( y Å z) = xy Å xz ;

20.x Å x = 0 ;

21.x Å 0 = x .

Логическая функция над базисом Жегалкина единственным образом представима полиномом Жегалкина:

Функция называется линейной, если ее полином Жегалкина содержит только линейную часть.

При построении полинома Жегалкина используются равносильности бу- левой алгебры, алгебры Жегалкина и следующие формулы:

22. x = x Å1;

23. x Ú y = xy Å x Å y .

31

Система логических функций F называется функционально полной, если любая функция реализуема формулой над F.

Теорема. (Поста). Система F логических функций полна тогда и только то- гда, когда для каждого из классов Поста в системе F найдется функция, не принадлежащая данному классу.

Классами Поста являются следующие замкнутые классы логических функций:

∙класс линейных функций: L = { f | f = a0 Å a1x1 Å ... Å an xn} , где a0 , ai Î{0,1}.

Логические функции можно интерпретировать как функции проводимо- сти электрических цепей, содержащих двухпозиционные переключатели (част- ным случаем являются релейно – контактные схемы). 1 интерпретируется как состояние переключателя «ток проходит», а 0 – « ток не проходит». x – замы-

кающий контакт, x - размыкающий контакт, &- последовательное соедине- ние контактов, - параллельное. Две цепи считаются эквивалентными, если через одну из них ток проходит тогда и только тогда, когда он проходит через другую. Из двух эквивалентных схем более простой считается та, которая со- держит меньшее число контактов.

Пример 4.2 Доказать, что система { f } , где f = x | y - штрих Шеффера, является функционально полной.

Штрих Шеффера не принадлежит ни одному классу Поста:

1)f (0,0) = 0 | 0 = 1 f T0 ;

2)f (1,1) = 1|1 = 0 f T1 ;

3) f * (x, y) = f (x, y) = x | y = x × y = x × y = x Ú y = x ¯ y ¹ f (x, y) f S ;

4)f (x, y) = x | y = x × y = xy Å1 f L ;

5)f (1,1) = 0 < 1 = f (0,0) f M .

Следовательно, по теореме Поста система { f } является функционально полной, т. е. с помощью штриха Шеффера можно получить любую логическую функ- цию. В частности,

x = x | x ,

32

А) Контрольные вопросы

4.1Дайте определение логической функции. Сколько существует логических функций от n переменных?

4.2Определите, от каких переменных существенно зависят функции:

4.3Определите, какая из перечисленных формул является ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ:

4.4Найдите функции, двойственные к функциям

f1 =1; f2 = 0 ; f3 = x ; f4 = x ; f5 = x × y ; f6 = x Ú y .

Сформулируйте принцип двойственности.

4.5Представьте полиномом Жегалкина функции:

f1 = x ; f2 = x × y ; f3 = x Ú y ; f4 = x Å y ; f5 = x y ; f6 = x ® y .

Какие из перечисленных функций являются линейными?

4.6Дайте определение классов Поста. Приведите пример логической функ- ции, сохраняющей 0; функции, сохраняющей 1; самодвойственной функ- ции; монотонной функции; линейной функции.

4.7Сформулируйте теорему Поста. Приведите пример функционально пол- ной системы логических функций.

Б) Задачи и упражнения

4.8Вычислите значение функции f (x, y,z) на наборах (0,1,0) , (1,1,0) и (1,1,1) .

а) f (x, y, z) = (x ~ y) Å (xz Ú y) ;

б) f (x, y, z) = (x Å z) y ® (x Ú y) ;

в) f (x, y, z) = (x → y) ~ (x → y)z .

33

4.9Постройте таблицы истинности следующих функций:

а) f (x, y) = xy Å x ;

б) f (x, y) = (xy Å y ) Ú (x ® y) ;

в) f (x, y, z) = (x ® y) Ú (x ® zy) ;

г) f (x, y, z) = xyz (x → zy) ;

д) f (x, y, z,t) = (x ® ( y Å z))( y ® xt)(t ® (z Å y))(x Å z) ® x ;

е) f (x, y, z,t) = ((x Å y)(z Å t) ® xyzt ) .

4.10Найдите СКНФ и СДНФ функций fi ( i =1,2,3,4 ), заданных таблицей ис- тинности:

4.11Найдите СДНФ функций с помощью равносильных преобразований:

а) f (x, y) = x Ú y ;

б) f (x, y, z) = (x ® y ) ® ( yz ® xz) ;

в) f (x, y, z) = (x Å y) ~ z ;

г) f (x, y, z) = x Å xyz ;

д) f (x, y, z) = (x Ú yz) Å (z ® x) ;

е) f (x, y, z,t) = x Ú z yt .

4.12Найдите СКНФ функций с помощью равносильных преобразований:

а) f (x, y) = x ® y ;

б) f (x, y, z) = xy Ú yz Ú z ;

в) f (x, y, z) = x ~ yz .

4.13Найдите СДНФ, выражающие следующие функции:

а) f (x1, x2 , x3 ) = 1 ровно две переменные ложны;

34

б) f (x1, x2 , x3 ) =1 ровно одна переменная равна 0;

в) f (x1, x2 , x3 , x4 ) =1 x1 + x2 + x3 + x4 ³ 4 .

4.14Найдите СКНФ, выражающие следующие функции:

а) f (x1, x2 , x3 ) = 0 ровно две переменные ложны;

б) f (x1, x2 , x3 ) = 0 одна или две переменные равны 0;

в) f (x1, x2 , x3 , x4 ) = 0 x1 + x2 + x3 + x4 < 2 .

4.15Найдите все существенные переменные функций:

а) f (x, y) = xy x ;

б) f (x, y, z) = xy yz ;

в) f (x, y, z) = z(x y) (x y z) ;

г) f (x, y, z) = (x ® ( y ® z)) ® ((x ® y) ® (x ® z)) .

4.16Найдите ДНФ функции f , двойственной к данной:

а) f (x, y, z) = x Ú yz Ú x y z ;

б) f (x, y, z) = xy Ú z Ú xyz ;

в) f (x, y, z) = x y yz x y z ;

г) f (x, y, z) = x y z x x y z .

4.17Определите, какие из перечисленных функций являются самодвойствен- ными:

а) f (x, y) = xy Ú y ;

б) f (x, y) = (1000)T ;

в) f (x, y) = x ® y ;

г) f (x, y, z) = (11101000)T ;

д) f (x, y, z) = x y z x x y z .

4.18Примените принцип двойственности к следующим равносильностям:

4.19Найдите многочлен Жегалкина для функции:

а) f (x, y) = (1000)T ;

б) f (x, y, z) = (01101000)T ;

в) f (x, y, z) = x Ú xy Ú xz ;

35

г) f (x, y, z) = (x ~ yz) ® y .

4.20Определите, какие из перечисленных функций являются линейными:

а) f (x, y) = (1110)T ;

б) f (x, y, z) = (01001000)T ;

в) f (x, y) = xy Å (x Ú y) ;

г) f (x, y, z) = (x Å yz) ® y .

4.21Дана функция проводимости F релейно-контактной схемы. Постройте схему:

а) F (x, y, z) = (xy Ú xyz)z ;

б) F (x, y, z) = (xy Ú zy)(x Ú y) ;

в) F (x, y, z,t) = (x Ú y Ú y)(t Ú z ) ;

г) F (x, y, z,t) = x(z Ú xt) y Ú x ( yt Ú z y) .

4.22Упростите релейно-контактные схемы из задачи 4.21.

4.23Найдите СДНФ функции f , упростите ее, по упрощенной ДНФ построй- те релейно-контактную схему:

а) f (x, y) = (x Ú y)(x Ú y) ;

б) f (x, y, z) = (x Å z ) Ú (xy ® z) ;

в) f (x, y, z) = (11101010)T ;

г) f (x, y, z,t) = (0000000001010101)T .

4.24Дана релейно-контактная схема. Запишите функцию проводимости и уп- ростите схему:

36

4.30СДНФ функции f = (10100110)T имеет вид…

а) x y z xy z x yz xy z ;

б) x yz xyz x y z xyz ;

в) (x y z )(x y z )(x y z )(x y z ); г) (x y z )(x y z )(x y z )( x y z ) .

4.31СКНФ функции f = (10100110)T имеет вид…

а) x y z xy z x yz xy z ;

б) x yz xyz x y z xyz ;

в) (x y z )(x y z )(x y z )(x y z ); г) (x y z )(x y z )(x y z )(x y z ).

4.32Функция x y z x y x существенно зависит…

а) от переменных x и z ;

б) от переменных x и y ;

в) от переменной x ;

г) от переменной z .

4.33Несущественными переменными для функции x yz z xz являются…

а) y и z ;

б) все;

в) x и y ;

г) z .

38

4.35Двойственной к функции xy ( x z )(x y )( y z ) является функция…

а) x y z ;

б) x y z ;

в) xyz ;

г) x y z .

4.36Релейно-контактной схеме из двух последовательно соединенных контак- тов x и y соответствует функция проводимости…

а) F (x, y) = x Ú y ;

б) F (x, y) = x & y ;

в) F (x, y) = x Å y ;

г) F (x, y) = x ® y .

4.37Дана релейно-контактная схема

.

Схема, эквивалентная заданной, имеет вид…

а)

б)

в)

г)

39

4.38 Дана релейно-контактная схема

Схема, эквивалентная заданной, имеет вид…

а)

б)

в)

г)

4.39Истинным является высказывание…

а) «Многочленом Жегалкина представима только линейная логическая функция»;

б) «Многочленом Жегалкина представима любая логическая функция»;

40