ДМ Практикум

Глава III. Формулы алгебры логики

Высказыванием называется повествовательное утверждение, которое ли- бо истинно, либо ложно (но не то и другое одновременно). Высказывание на- зывается простым (элементарным), если оно рассматривается как одно неде- лимое целое. Простые высказывания обозначаются переменными, принимаю- щими истинностные значения И и Л. Сложное высказывание - высказывание, составленное из простых с помощью логических связок. Логические связки (операции) будем интерпретировать как функции, заданные на множестве {0, 1}, ({И, Л}, {«истина», «ложь»}) со значением в этом же множестве.

Конъюнкцией (операцией «и») высказываний P и Q называется высказы- вание P&Q, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное во всех ос- тальных случаях (обозначается также P Ù Q , P ×Q , PQ ).

Дизъюнкцией (операцией «или») высказываний P и Q называется выска- зывание P Ú Q , ложное, когда оба высказывания ложны, и истинное во всех ос- тальных случаях.

Отрицанием (операцией «не») высказывания P называется высказывание P , истинное, когда высказывание P ложно, и ложное, когда P истинно (обозна- чается также ¬P ).

Импликацией (логическим следованием) высказываний P и Q называется высказывание P ® Q , ложное, когда P истинно, а Q ложно, и истинное во всех остальных случаях (обозначается также P É Q , читается «если P, то Q», «P влечет Q»).

Эквивалентностью (равнозначностью) высказываний P и Q называется высказывание P Q , истинное, когда истинностные значения высказываний P и Q совпадают, и ложное в противоположном случае (обозначается также

P º Q ).

Неравнозначностью (сложением по модулю 2) ) высказываний P и Q на-

зывается высказывание P Å Q , истинное, когда истинностные значения выска- зываний P и Q не совпадают, и ложное в противоположном случае.

Выражение, составленное из переменных, обозначающих высказывания, логических связок и скобок называется логической формулой, если оно удовле- творяет следующим условиям:

-любая переменная, обозначающая простое высказывание – формула;

-если P и Q – формулы, то

(P&Q), ( P Ú Q ), ( P ® Q ), ( P Q ), ( P Å Q ), ( P ), ( Q ) – также формулы;

- других формул нет.

Действия логических связок задаются таблицами истинности, каждой строке которых взаимно-однозначно сопоставляется набор значений перемен-

21

ных, составляющих формулу, и соответствующее этому набору значение полу- ченной формулы (см. таблицу 3.1).

Таблица 3.1

Исходя из таблицы истинности для логических связок, можно строить таблицы истинности для произвольных формул.

Пример 3.1. Построить таблицу истинности для формулы

Φ=((P → Q) & R) .

Будем строить таблицу истинности последовательно в соответствии с шага- ми построения формулы Φ (таблица 3.2):

Таблица 3.2

Формула, истинная на некотором наборе переменных, называется выпол- нимой. Формула, истинная на всех возможных наборах переменных, называется

тождественно истинной (или тавтологией). Формула, ложная на всех воз-

22

можных наборах переменных, называется тождественно ложной (или проти-

воречием).

Формулы, принимающие одинаковые значения при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, называются равносильными или эквива- лентными. При доказательстве равносильности формул используются основные равносильности:

8.P & P = 0 ;

9.P Ú P =1.

Также при доказательстве равносильности используются следующие формулы:

10.P ® Q = P Ú Q ;

11.P ~ Q =(P & Q) (P & Q) ;

12.P Å Q = (P & Q) Ú (P & Q) ;

Под упрощением формул понимается получение равносильных формул, содер- жащих меньшее число символов. При упрощении используются равносильно- сти:

Пример 3.2. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Работники ГАИ опросили трех свидетелей ДТП.

Первый свидетель показал, что это был автомобиль синего цвета, первая цифра номера – 3.

Второй свидетель показал, что это был автомобиль серого цвета, первая цифра номера -8.

23

Третий свидетель показал, что цвет автомобиля был не синий и не серый, а но- мер был точно не 3.

В ходе дальнейшего расследования выяснилось, что каждый свидетель дал пра- вильные показания либо только относительно цвета автомобиля, либо только относительно его номера.

Какого цвета был автомобиль, и с какой цифры начинался его номер?

Введем обозначения для элементарных логических высказываний:

Так как известно, что каждый свидетель правильно указал либо цвет автомоби- ля, либо первую цифру номера, то истинными будут следующие составные вы- сказывания:

( A B) - из показаний первого свидетеля;

(C D) - из показаний второго свидетеля;

(( A C) B) - из показаний третьего свидетеля.

Так как все перечисленные высказывания истинны, то истина также их конъ- юнкция:

( A B) (C D) (( A C) B) =1.

Преобразуем левую часть полученного равенства, учитывая, что

A C = 0 и B D = 0 :

( A B) (C D) (( A C) B) =

=( A B A B) (C D C D) (( A C) B ( A C) B) =

=( A B C D A B C D A B C D A B C D) ( A C B ( A C) B) =

=( A B C D A B C D) ( A C B A B C B) = A B C D =1.

Отсюда следует, что высказывания A и D истинны, а высказывания B и C лож- ны, то есть автомобиль синего цвета, первая цифра его номера – 8. Заметим, что вместо преобразований можно было использовать таблицу истинности.

А) Контрольные вопросы

3.1Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие – нет:

а) «Сегодня идет дождь».

24

б) «Сумма углов треугольника равна 180 градусов».

в) «Число π ≈ 3,14 ».

г) «3 + 5 : 7 ".

д) «Который час?».

е) «Дискретная математика слишком сложный предмет».

ж) «Париж – столица Италии».

з) «Если две стороны треугольника равны, то два его угла также равны».

3.2Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, ка- кие – ложны, а какие могут быть как истинными так и ложными.

3.4Дайте определение логической формулы, выполнимой логической фор- мулы, тавтологии, противоречия. Приведите пример.

3.5Докажите основные равносильности 1. – 12. с помощью таблиц истинно- сти.

3.6Докажите равенства 13, 14, 15 с помощью эквивалентных преобразова- ний.

Б) Задачи и упражнения

3.7Запишите логической формулой следующие высказывания:

а) «Если на улице идет дождь, то нужно взять с собой зонт или отменить прогулку».

б) «Если в DABC ÐA - прямой, и стороны AB и AC равны, то

ÐB = 45o ».

3.8Постройте таблицы истинности следующих формул:

25

3.9Установите истинность высказывания: «если Алексей знаком с Борисом и Борис знаком с Викой, то либо Алексей знаком с Викой, либо Алексей не знаком с Викой».

3.10На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» По- лучен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но невер- но, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?

3.11Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:

если первый сдал, то и второй сдал; если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;

если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал; если четвертый сдал, то и первый сдал.

3.12При составлении расписания экзаменов на зимнюю сессию были выска- заны пожелания, чтобы экзамен по математическому анализу был первым или вторым, по физике – первым или третьим, по дискретной математике

– вторым или третьим. Можно ли удовлетворить одновременно все вы- сказанные пожелания? Если да, то укажите возможные варианты распи- сания.

3.13Выясните, какие из следующих формул являются тождественно истин- ными или тождественно ложными:

а) (P ® Q) Ú (Q ® P) ;

б) (P Ú Q) & (Q Ú R) Ú P Ú R ;

в) P & Q & (R Ú R Ú Q) & Q

г) (P → Q) → ((P → (Q → R)) → (P → R)) ;

д) (P Å Q) Å (P Å R) .

В) Тестовые задания (укажите единственный верный ответ)

3.14Эквивалентностью высказываний называется высказывание…

а) истинное, когда оба высказывания Р и Q истинны, и ложное во всех остальных случаях;

б) ложное, когда оба высказывания Р и Q ложны, и истинное во всех ос- тальных случаях;

26

в) истинное, когда истинностные значения Р и Q совпадают, и ложное в противоположном случае;

г) истинное, когда истинностные значения Р и Q не совпадают, и ложное

в противоположном случае.

3.15Высказывание, ложное, когда высказывание Р истинно, а высказывание Q ложно, и истинное во всех остальных случаях, называется…

а) неравнозначностью высказываний Р и Q;

б) эквивалентностью высказываний Р и Q;

в) импликацией высказываний Р и Q;

г) дизъюнкцией высказываний Р и Q.

3.16Р и Q – переменные, обозначающие высказывания. Логической формулой не является выражение…

а) (P → Q) ;

б) ( P) ;

в) (P Q) ;

г) (P − Q) .

3.17Формула, истинная на всех возможных наборах переменных, называет ся...

а) тавтологией;

б) противоречием;

в) выполнимой;

г) конъюнкцией.

3.18Противоречием является формула…

а) (P → Q) (P → Q) ;

б) (P Q) & (P Q) ;

в) P Q P ;

г) Q (P & P) .

27

Глава IV. Функции алгебры логики

Функцией алгебры логики (или логической функцией) f от n переменных x1 , x2 ,..., xn называется функция f (x1 , x2 ,..., xn ) типа Bn → B , где В={0,1}.

Любую логическую функцию можно задать таблицей истинности:

Логическая функция f (x1 , x2 ,..., xn ) существенно зависит от переменной xi , если существует такой набор значений a1 , a2 ,..., ai−1 , ai , ai+1 ,..., an , что

f (a1 , a2 ,..., ai−1 ,1, ai+1 ,..., an ) ¹ f (a1 , a2 ,..., ai−1 ,0, ai+1 ,...an ) .

либо формула над F. При этом множество F называется базисом, функция f на- зывается главной (внешней) операцией, а ti - подформулами. Зная таблицу ис-

29

тинности базиса, можно составить таблицу истинности функции, которую реа- лизует (задает) данная формула.

Система функций {&, ,¬} образует булев базис. Множество логических функций с заданным на нем булевым базисом образуют булеву алгебру.

Основные равносильности в булевой алгебре

Формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются эквивалентными или равносильными. При доказательстве равносильности формул используются основные равносильности булевой алгебры и следующие формулы:

10.x → y = x y ;

11.x ~ y = xy x y ;

12.x Å y = xy Ú xy ;

13.x ¯ y = x Ú y = x × y ;

14.x | y = x × y = x Ú y .

При упрощении формул используются равносильности:

Пример 4.1 Найти все существенные переменные функции

F= x y Ú x( y Ú z) .

Упростим формулу, задающую функцию:

30