![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
теория вероятностей
.docxФедеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
Кафедра математического
моделирования бизнес-процессов
Курсовая работа по математической статистике
Выполнила: студентка
II курса, ИВТ, гр. ИБ-19
Баранова А. И.
Проверила: Чернова Н. И.
Новосибирск, 2012
1. Теоретическая часть
1.1 Выборка
Генеральная совокупность – это случайная величина X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω с выделенным в нём классом подмножеств событий, для которых указаны их вероятности.
Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Выборка – это набор n независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин (X1, X2, ..., Xn), где Xi соответствует i-му по счёту эксперименту, а число n называется объёмом выборки.
Совокупность чисел (x1,x2, …, xn), полученных в результате n-кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности X, называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма n.
1.2 Эмпирическая функция распределения
Эмпирической
функцией распределения, построенной
по выборке
объема
,
называется случайная функция
,
при каждом
равная
При
любом
значение
,
равное истинной вероятности случайной
величине
быть
меньше
,
оценивается долей элементов выборки,
меньших
.
Эмпирическая
функция распределения имеет скачки в
точках выборки, величина скачка в точке
равна
,
где
—
количество элементов выборки, совпадающих
с
.
1.3 Гистограмма
Гистограмма строится по группированным
данным. Предполагаемую область значений
случайной величины
(или область выборочных данных) делят
независимо от выборки
на некоторое количество интервалов (не
обязательно одинаковых). Пусть
,
,
—
интервалы на прямой, называемые
интервалами группировки. Обозначим для
через
число
элементов выборки, попавших в интервал
:
|
На
каждом из интервалов
строят
прямоугольник, площадь которого
пропорциональна
.
Общая площадь всех прямоугольников
должна равняться единице. Пусть
—
длина интервала
.
Высота
прямоугольника
над
равна
Полученная фигура называется гистограммой.
1.4 Выборочные моменты
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:
Выборочный-й
момент:
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего:
Несмещённая выборочная дисперсия:
1.5 Доверительные интервалы
Пусть
.
Интервал
называется
доверительным интервалом для параметра
уровня доверия
,
если для любого
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения:
-
Для
при неизвестном
),
где x такое, что
.
-
Для
при известном
где
h1: P(
и h2: P(
.
1.6 Критерий хи-квадрат Пирсона
Критерий
основывается на группированных данных.
Область значений предполагаемого
распределения
делят на некоторое число интервалов.
После чего строят функцию отклонения
по разностям теоретических
вероятностей попадания в интервалы
группировки и эмпирических
частот.
где
- число элементов выборки в j-м
интервале, pj
- теоретические вероятности попадания
в j-й интервал случайной
величины с распределением
.
Пусть
задан набор вероятностей
такой,
что
.
Критерий
предназначен
для проверки сложной гипотезы
против
сложной альтернативы
,
т.е.
Теорема Пирсона:
Если верна гипотеза
,
то при фиксированном
и при
где
есть
-распределение
с
степенью
свободы.
Пусть
случайная величина
имеет
распределение
.
По таблице распределения
найдем
равное
квантили уровня
этого
распределения. Тогда
и
критерий согласия
выглядит
как все критерии согласия:
1.7 Критерий Фишера
Есть
две независимые выборки из нормальных
распределений:
из
и
из
,
средние которых, вообще говоря, неизвестны.
Критерий Фишера предназначен для
проверки гипотезы
.
Обозначим
через
и
несмещенные
выборочные дисперсии:
и зададим функцию отклонения
как
их отношение
Если
гипотеза
верна, то случайная величина
имеет распределение Фишера
с
степенями свободы.
Возьмем
квантили
и
распределения
Фишера
.
Критерием Фишера называют критерий:
1.8 Критерий Стьюдента
Есть
две независимые выборки:
из
и
из
,
причем дисперсия
одинакова
для обоих распределений, но неизвестна.
Проверяется сложная гипотеза
.
Введём функцию
Если
верна,
то величина
имеет
распределение Стьюдента
с
степенями
свободы.
Нужно
по
найти
- квантиль распределения
.
Для такого
величина
из распределения
удовлетворяет
равенству
Таким образом, Критерий Стьюдента:
Выборка №3
-3.002 |
-1.155 |
-3.484 |
-2.017 |
-2.012 |
-1.783 |
-3.059 |
-3.488 |
-1.431 |
-3.104 |
-1.459 |
-2.284 |
-2.156 |
-2.238 |
-2.238 |
-1.616 |
-1.722 |
-2.053 |
-1.048 |
-1.070 |
-2.557 |
-1.787 |
-2.774 |
-3.401 |
-1.144 |
-2.926 |
-2.371 |
-1.907 |
-0.576 |
-1.832 |
-2.399 |
-2.331 |
-2.602 |
-2.687 |
-2.512 |
-1.480 |
-2.773 |
-1.319 |
-2.473 |
-3.196 |
-1.418 |
-2.454 |
-2.289 |
-1.939 |
-1.780 |
-2.792 |
-1.533 |
-3.945 |
-1.946 |
-2.025 |
Список литературы
-
Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Учебное пособие. – 2-е изд., испр. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004. – 128 с.
-
Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с.