1.8.1. Вычисление ранга матрицы.

Для нахождения ранга матрицы в основном используются два метода - метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований (метод Гаусса).

При использовании метода окаймляющих миноров выделяют в матрице минор k-го порядка , отличный от нуля и далее рассматривают те минорыk+1 –го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор . Если все они равны нулю, то ранг матрицы равенk, в противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор порядка k+1 и вся процедура повторяется.

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции со строками (или столбцами) матрицы:

1) перестановка строк;

2) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

3) сложение строк.

Нетрудно видеть, что эти элементарные преобразования не меняют ранга матрицы и метод Гаусса состоит в приведении исходной матрицы с помощью указанных элементарных преобразований к так называемому «ступенчатому» виду, в ходе которого получающиеся нулевые строки вычеркиваются.

Матрицу будем называть «ступенчатой», если она удовлетворяет следующим условиям:

1) первый элемент ее первой строки является ненулевым;

2) в каждой последующей ненулевой строке число нулевых элементов, предшествующих первому ненулевому, больше, чем у предыдущей строки.

После приведения матрицы к «ступенчатой» виду, ее ранг будет равен числу строк в матрице. Заметим, что структуры исходной и «ступенчатой» матриц различны, но их ранги одинаковы. Примеры «ступенчатых» матриц:

; .

1.9. Задачи

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

1. . 2..

Найти ранг матрицы методом Гаусса:

3. . 4..

5. Найти значения , при которых матрица

имеет: а) ; б); в).

Домашнее задание.

6. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

.

7. Найти значение , при котором ранги матрицА и В равны (использовать метод элементарных преобразований):

, .

8. Найти ранг матрицы

.

Ответы. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 2. 5. а) нет значений; б) ; в). 6. 4. 7.. 8., если;, если.

1.10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).

В общем случае система из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

, (1.6)

при этом - неизвестные, подлежащие определению. Известными величинами являются коэффициенты системыи свободные члены(правые части). В матрично-векторном виде данная система уравнений записывается в следующей компактной форме:

,

где

, ,.

Если все члены правых частей равны нулю (), то система уравнений называетсяоднородной.

Решением системы (1.6) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в (1.6) вместообращает систему (1.6) в тождество. Не всякая система вида (1.6) имеет решение. Так, системазаведомо не имеет ни одного решения.

Определение. Система (1.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Совместная система вида (1.6) называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет хотя бы два различных решения.

Условие совместности системы (1.6) можно установить с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема (Кронекер-Капелли). Для того чтобы линейная система (1.6) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Здесь под основной матрицей системы (1.6) понимается матрица А, а под расширенной – матрица , полученная из матрицы А путем добавления к ней справа вектора – столбца свободных членов системы (1.6):

.

Условия совместности можно записать в виде: .

Пример. 1) ,,. Система несовместна.

2) ,,. Система совместна.