1.1. Свойства матриц.

Из всех операций отношения для матриц определена только операция сравнения.Две матрицы считаются равными только тогда, когда они имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы обеих матриц равны.

Определены также следующие линейные операции с матрицами:

1) Умножение матрицы на число. Если – матрицаи- число, то матрица(или) имеет размерностьи элементы, то есть каждый элемент исходной матрицы умножается на число. Матрицаназывается матрицей, противоположной матрице А и обычно обозначается просто как. Ее нельзя называть отрицательной матрицей, поскольку матрица знака не имеет!

2) Сложение матриц. Если две матрицы иимеют одинаковую размерность, то их суммой будет новая матрицатой же размерностии такая, что. При этом имеют место соотношения:

- переместительное свойство,

- свойство ассоциативности.

Доказательство этих свойств достаточно очевидно. Под разностью двух матриц А и В понимается сумма матрицы А и матрицы, противоположной матрице В: , поэтому для разности матриц также справедливы все указанные выше свойства.

Считается, что размерность нулевой матрицы О всегда согласована с размерностью произвольной матрицы А – m x n так, чтобы имело место равенство

A + O = O + A = A.

3) Умножение двух матриц. Если -матрица, а – матрица, то произведением матрицына матрицу называется новая матрица размерности, построенная по следующему правилу

.

Из определения следует, что две матрицы можно умножить только тогда, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы. Поэтому в общем случае в произведении нельзя переставлять матрицы местами. Заметим, что квадратные матрицы одинаковой размерности умножать друг на друга можно всегда.

Если несколько матриц можно умножать попарно, то имеет место свойство ассоциативности:

.

Действительно, пусть . Тогда

,

.

Результат суммирования в правых частях не зависит от порядка суммирования, и таким образом, свойство ассоциативности доказано.

Если для двух матриц выполняется равенство , то говорят, что матрицыи являются перестановочными или коммутативными. Однако в общем случае произведение двух матриц некоммутативно, то есть .

1.1.1. Некоторые свойства квадратных матриц.

Квадратная матрица называетсясимметричной, если , то есть если. Для квадратной матрицы, которую всегда можно умножать саму на себя, определено понятиестепени матрицы как ее произведение самой на себяk раз.

В квадратной матрице определено понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю называется совокупность элементов матрицы, расположенных на воображаемой линии, проведенной из верхнего левого угла матрицы в правый нижний, а побочной – их совокупность, расположенных на аналогичной линии, проведенной из верхнего правого угла в левый нижний. Таким образом, элементами главной диагонали является совокупность , а побочной -.

Если все элементы матрицы А, расположенные ниже главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется верхней треугольной матрицей.

Если же равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали, то матрица А называется нижней треугольной

Единичной матрицей называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные – нули. Единичная матрица обычно обозначается буквой Е :

.

Считается, что размерность единичной матрицы всегда является согласованной с размерностью любой (не обязательно квадратной!) матрицы так, чтобы имело место соотношение .

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы ее главной диагонали, называется диагональной и обозначается как .

Приведем некоторые важные соотношения для матриц произвольной размерности (докажите их самостоятельно в качестве упражнения):

1) ; 2);

3) - симметричная матрица.