Лекция 3. Логические основы эвм. Законы алгебры логики
Логика (от греческого слова «1оgоs» – слово, мысль, речь, разум) – совокупность наук о законах и формах мышления, о наиболее общих законах мышления. Начало исследований в области формальной логики было положено работами Аристотеля в IV веке до н.э. Логика оперирует понятиями, суждениями и умозаключениями. В середине XIX века возникла и начала интенсивно развиваться математическая логика, применяющая для анализа рассуждений математические средства и методы. Именно она заложила теоретические основы последующей разработки языков программирования.
Одним из основных разделов математической логики является алгебра логики (исчисление высказываний), основоположником которой был Джордж Буль (1815-1864), положивший в основу своего логического учения методы алгебры (алгебра Буля).
Алгебра логики в ее современном изложении занимается исследованием операций с высказываниями. Высказывание – это истинное или ложное предложение. В естественном языке высказывания образуются повествовательным предложением или риторическим вопросом. Вопросительные и повелительные предложения не образуют высказывания.
Вопрос об истинности простых высказываний лежит вне сферы логики – на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Высказывания обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание А истинно, будем писать А = 1, если ложно, то А = 0.
Сложные высказывания содержат простые высказывания, соединенные логическими связками. В алгебре логики определены действия над высказываниями, выполняя которые, мы получаем новые сложные высказывания, истинность или ложность которых можно определить из таблицы истинности.
Логическое
отрицание:в естественном языке ему
соответствует выражение «неверно,
что...", относящееся ко всему высказыванию,
или присоединение союза «не» к некоторой
части простого высказывания. Например:
если А – простое высказывание «Идет
дождь», то отрицанием А (
)
является высказывание «Неверно, что
идет дождь» или «Дождь не идет». Отрицанию
соответствует таблица истинности:
Таблица 1.1
|
А |
notА |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Логическая конъюнкция:в естественном языке ей соответствуют союз «и». Возможны различные варианты записи конъюнкции: Р=АВ; Р=А×В; Р=А&В.Следует отметить, что в некоторых случаях, для упрощения записи, знак конъюнкции опускается и сложное высказывание записывается следующим образом: АВ.Иногда конъюнкцию называют логическим произведением. Принято считать, что сложное высказывание, полученное из двух простых высказываний, соединенных связкой конъюнкция, истинно только в том случае, если истинны оба простых высказывания (см. таблицу 1.2.).
Таблица 1.2
|
А |
В |
АВ |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Логическая дизъюнкция:в естественном языке ей соответствуют союз «или». Дизъюнкция обозначается или Р = АВ,илиР = А+В.Принято считать, что сложное высказывание, полученное из двух простых высказываний, соединенных связкой, – дизъюнкция – ложно только в том случае, если ложны оба простых высказывания (см. таблицу 1.3.).
Таблице 1.3
|
А |
В |
AB |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |