Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора

m	Собственно-случайный повторный отбор	Собственно-случайный Бесповторный отбор
Для средней
Для доли

Здесь - выборочная дисперсия значений признака;

- выборочная дисперсия доли значений признака;

- объем выборки;

- объем генеральной совокупности;

- доля обследованной совокупности;

- поправка на конечность совокупности⁴.

7.4. Определение численности (объема) выборки

Одной из важнейших проблем выборочного метода является определение необходимого объема выборки. От объема выборки зависит размер средней ошибки и экономичность проводимого выборочного наблюдения, т.к. чем больше объем выборки, тем больше затраты на изучение элементов выборки, но тем меньше при этом ошибка выборки.

Из формулы предельной ошибки и формул средних ошибок выборки определяются формулы необходимой численности выборки для различных способов отбора.

Таблица 7.2

Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора

n	Собственно-случайный повторный отбор	Собственно-случайный Бесповторный отбор
Для средней
Для доли

7.5. Интервальное оценивание

Мы уже знаем, что . Если представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина, то . Следовательно,

(7.4)

Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что

. (7.5)

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надёжностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% - неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность - 0,95. В 5% случаев утверждение "параметр принадлежит доверительному интервалу" будет неверным. То есть 5% задаетуровень значимости ()или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% (< 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.

С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)⁵ нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклоненииs генеральной совокупности (на практике -при большом объеме выборки, т.е. приn³30) исобственно-случайном повторном отбореформула (7.5.2) примет вид:

(7.6)

где tопределяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) =g;

- среднее квадратическое отклонение;

n- объем выборки (число обследованных единиц).

Dопределяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклоненииs генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т.е. приn 30) исобственно-случайном бесповторном отбореформула (7.6) примет вид:

(7.7)

Dопределяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)нормально распределенного количественного признака Х по выборочной среднейпри неизвестном среднем квадратическом отклоненииsгенеральной совокупности (на практике -при малом объеме выборки, т.е. приn< 30) исобственно-случайном повторном отбореформула (7.6) примет вид:

(7.8)

где tопределяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a= 1 -g

и числу степеней свободы k=n- 1;

s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;

n- объем выборки.

Dопределяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)нормально распределенного количественного признака Х по выборочной среднейпри неизвестном среднем квадратическом отклоненииsгенеральной совокупности (при малом объеме выборки, т.е. приn< 30) исобственно-случайном бесповторном отбореформула (7.8) примет вид:

(7.9)

Dопределяется по формуле:

Для оценки генеральной доли рнормально распределенного количественного признака по выборочной долепри большом объеме выборки, т.е. приn 30) исобственно-случайном повторном отбореформула (7.5) примет вид:

(7.10)

где tопределяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) =g;

w- выборочная доля;

n- объем выборки (число обследованных единиц).

Dопределяется по формуле:

Для оценки генеральной доли рнормально распределенного количественного признака по выборочной долепри большом объеме выборки, т.е. приn 30 исобственно-случайном бесповторном отбореформула (7.10) примет вид:

(7.11)

Dопределяется по формуле:

Для оценки генеральной доли рнормально распределенного количественного признака по выборочной долепри малом объеме выборки, т.е. приn< 30 исобственно-случайном повторном отбореформула (7.10) примет вид:

(7.12)

где tопределяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a= 1 -g

и числу степеней свободы k=n- 1.

Dопределяется по формуле:

Для оценки генеральной доли рнормально распределенного количественного признака по выборочной долепри малом объеме выборки, т.е. приn< 30 исобственно-случайном бесповторном отбореформула (7.12) примет вид:

(7.13)

Dопределяется по формуле: