2.3. Декомпозиция математических моделей сложных систем

Для вывода общих закономерностей, присущих иерархическим системам всех типов вернемся к задаче математического описания системы S, изображенной на рис. 2.1. Каждая пара "вход — выход" х X иy Y принадлежит определенной математической страте, которую можно представить как отображение (функцию) зависимости от положения страты в иерархической системе:

(2.8)

Условимся называть стратификацией семейство математических моделей подсистем S_j, взаимодействующих между собой посредством функций связи:

(2.9)

Семейство S_j образует взаимосвязанную систему:

y_m = S_m (x_m , H_m-1 (y_m-1 )),

.

(2.10)

. . . . . .

y_j = S_j (x_j , H_j-1 (y_j-1 ) , C_j+1 (y_j+1 )),

. . . . . . .

y₁ = S₁ (x₁ , C₂ (y₂ )),

где — множество входных сигналов, относящих­ся кj-й страте; — множество выходных сигналовj-й страты; — множество входов, примыкающих кj-й страте соответственно сверху (управляющие сигналы) и снизу (информационные сигналы); — мно­жество выходных сигналовj-й страты, связывающих ее с примы­кающими стратами S_j-1 и S_j+1 (в общем случае множества вход­ных, выходных управляющих и информационных сигналов не рав­ны между собой); H_j, C_j — информационная и управляющая ма­тематические функции j-й страты.

С

(2.11)

(2.12)

истему S считают полностью стратифицированной, если для каждой ее математической стратыS_j, 1 ≤ j ≤ m информационная и управляющая функции не изменяются при изменении входного сигнала х_j:

H_j(S_j(x_j, u_j, z_j)) = H_j(S_j(x’_j, u_j, z_j)),

C_j(S_j(x_j, u_j, z_j)) = C_j(S_j(x’_j, u_j, z_j)),

где

Формально условия (2.11) и (2.12) можно записать при ∆х→0 по-иному:

∂

(2.13)

H_j / ∂x_j = 0,

∂C_j / ∂x_j = 0.

Перепишем (2.9) в явном виде относительно переменных u_j-1 и z_j+1

u

(2.14)

_j-1 = C_j(y_j),

z_j+1 = H_j(y_j).

Из (2.13) с учетом (2.14) следует:

∂

(2.15)

u_j-1 / ∂x_j = 0,

∂z_j+1 / ∂x_j = 0.

Это условие означает, что для фиксированных значений u_j и z_j реакция S_j на произвольные изменения входного сигнала x_j долж­на быть связана лишь с изменениями у_j и не сопровождаться изменениями сигналов связи u_j-1 и z_j+1, т.е. не выходить за пределы j-й страты.

Далее докажем еще одно положение, важное для декомпозиции математических моделей сложной системы: промежуточный эле­мент S_j стратифицированной системы инвариантен к измене­ниям входных сигналов примыкающих подсистем:

∂

(2.16)

y_j / ∂x_j+1 = 0,

∂y_j / ∂x_j-1 = 0.

Вначале покажем, что зависимости (2.16) существуют. По оп­ределению (2.1) имеем

y

(2.17)

_j+1 = S_j+1(x_j+1),

y_j-1 = S_j-1(x_j-1).

П

(2.18)

одставляя (2.17) в (2.10) для выраженияy_j, получаем

y_j = S_j(x_j, H_j-1(S_j-1(x_j-1)), C_j+1(S_j+1(x_j+1))).

Следовательно, зависимости (2.16) существуют. Теперь дока­жем их справедливость.

П

(2.19)

(2.20)

рименяя к условию (2.15) принцип математической индук­ции, получаем

∂u_j / ∂x_j+1 = 0,

∂z_j / ∂x_j-1 = 0.

Положив S_j изолированной от внешней среды системой, x_j=0 и что связь с другими подсистемами реализуют только по каналам u_j и z_j, из условий (2.19) и (2.20) следует выражение (2.16), что и требовалось доказать [11].

Стратификация реальных МИС. Изучение и опыт математи­ческих моделей реальных промышленных систем показывают, что условия полной стратификации, задаваемые соотношениями (2.19) и (2.20), достижимы лишь для идеальных МИС. В задачах приближенного математического описания промышленных систем условия стратификации соблюдают лишь при нормальном проте­кании технологического процесса и для ограниченных по модулю изменений входного сигнала. Это облегчает задачу стратификации реальных систем, состоящих из подсистем, связанных между собой через технологический процесс, как, например, энергоблоки и ТЭС в целом. По этим же соображениям для промышленных МИС допускают частичную или устойчивую стратификацию.

Э

(2.21)

(2.22)

то означает, что при соблюдении условий (2.19) и (2.20) в це­лом для любой промежуточной подсистемыS_j существует одна па­ра каналов u'_j и z'_j, передающая воздействие входных сигналов x'_j-1 и x'_j+1 примыкающих подсистем S_j-1, S_j+1. Эти воздействия передают посредством сигналов:

u’_j = C_j+1(y’_j+1),

z’_j = H_j-1(y’_j-1).

В результате получаем

y_j = S_j(x_j, u’_j, z’_j).

Устойчивую или частичную стратификацию промышленных систем проводят с учетом допущений (2.21) и (2.22), принимаемых как исключения по отношению к условиям (2.19) и (2.20).

Так для МИС, изображенной на рис. 1.4, возмущения по элек­трической нагрузке со стороны ЭС поступают по линиям электро­передач (через объект) вниз по иерархии на ТЭС и распределяют­ся через общие электрические шины станции (также через объект) между энергоблоками, что соответствует допущению (2.21).

В практике эксплуатации ТЭС некоторые входные воздействия крупных энергоблоков (например, колебания расходов топлива или питательной воды), не локализованные по каким-либо при­чинам автоматическими устройствами блочных установок, непос­редственно влияют на выходные величины вышестоящей подсис­темы, в частности электрическую мощность ТЭС. При стратифи­кации МИС (см. рис. 1.4) этот случай можно связать с допущени­ем (2.22).

Один из действенных способов стратификации реальных систем состоит в сокращении объема информации между подсистемами.

Общее число сигналов, идущих сверху по иерархии , уменьшают в процессе вертикальной декомпозиции, например, объединением (агрегированием) двух смежных математических страт в одну, т.е. снижениемm. Для ослабления потока информации, по­ступающей снизу, например , за счет уменьшенияn следует прибегать к агрегированию переменных в подсистемах одного и того же уровня. Использование принципа агрегирования на уровне технологического процесса состоит в объединении математических моделей отдельных агрегатов в укруп­ненные модели, например однотипных котлов и турбин блочных ТЭС в модель обобщенного энергоблока. Это не исключает гори­зонтальной декомпозиции сложных объектов с целью составления индивидуальных моделей, адекватных отдельным участкам техно­логического процесса, необходимых, например, для синтеза опти­мальных АСР нижнего уровня или решения других локальных за­дач по управлению.

Сокращение объема информации между подсистемами, наряду с упрощением задачи математического описания МИС, имеет большое практическое значение: высвобождается время оператив­ного персонала ТЭС и ЛПР, идущее на осмысливание "лишней" информации, и позволяет использовать его на обдумывание более важных решений по управлению.

Задача математического описания МИС в наиболее общей по­становке состоит в том, чтобы составить семейство математичес­ких моделей, сообразных условиям стратификации, и формализо­вать взаимные связи между ними. При этом следует иметь в виду, что не каждая модель технологического процесса или подсистемы является математической стратой МИС, но каждой страте должна соответствовать определенная математическая модель.