1.5. Предварительный выбор структуры

И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ

При проектировании систем регулирования технологических процессов необходимо выбрать структуру системы и дать предварительную оценку параметров регуляторов. Сведения о динамических свойствах процесса зачастую получают по данным о действующих объектах аналогичного типа или на основе аналитического описания отдельных элементов процесса. После того, как система регулирования установлена и технологический процесс запущен, параметры регуляторов (а иногда и структуру системы) приходится уточнять.

Выбор структуры АСР и параметров регуляторов целесообразно проводить в такой последовательности:

оценить динамические свойства объекта, интенсивность помех и требования к качеству регулирования; все эти сведения являются исходными данными для последующих расчетов;

оценить связи между переменными в статическом режиме, выяснить возможность создания системы регулирования, установить число статически независимых управляющих воздействий и регулируемых параметров;

выбрать параметры регуляторов и оценить качество регулирования для различных законов регулирования в одноконтурных системах;

предварительно выбрать способ улучшения качества регулирования.

Предварительная оценка характеристик процесса регулирования. Характеристики объекта, как правило, нелинейны, однако в системах стабилизации большая часть переменных меняется в сравнительно узкой области. Поэтому будем считать (см.раздел 1.1), что введенные выше ве.ктора у, и, z представляют собой отклонения соответствующих переменных от их средних значений, а характеристики объекта в окрестности заданного номинального режима могут быть линеаризованы. В линейном приближении связи между возмущающими воздействиями г, регулирующими воздействиями и и выходными переменными у

можно охарактеризовать с помощью матриц передаточных функций W_B(p), W_p(p) (см. рис. 1.1).

Так как на этапе предварительного выбора системы регулирования характеристики объекта известны очень приближенно, в подавляющем большинстве случаев динамику процесса^ можно охарактеризовать одной из двух передаточных функций [42]:

а) передаточной функцией статического объекта первого порядка с запаздыванием

(1.49)

б) передаточной функцией астатического объекта с запаздыванием

(1.50)

Амплитудно-фазовые характеристики и способы определения параметров этих объектов по их переходным функциям показаны на рис. 1.49. Таким образом, в первом приближении динамические ' свойства' объекта по каждому из каналов могут быть охарактеризованы постоянной времени Т, временем чистого запаздывания т, а для статического объекта — еще и коэффициентом усиления k.

Для выбора структуры системы регулирования наряду с динамикой объекта нужно приближенно оценить характеристики возмущающих воздействий. В качестве таких характеристик обычно принимают максимальное отклонение Аг или среднеквадратичное отклонение а_г.

Рис. 1.49. Приближенные способы определения параметров передаточных функций по переходным функциям h(t) и вид АФХ для статического (а) и астатического (б) объектов

Рис. 1.50. Схема куба ректификационной колонны с кипятильником

Наконец, нужно оценить необходимую точность стабилизации каждой из составляющих у. По технологическим условиям процесса эта точность может быть охарактеризована предельно допустимым отклонением Ау, либо среднеквадратичной ошибкой о_у. Если известно только одно из этих значений, второе можно найти из соотношения

(1.51)

имеем:

Аналогично для

Исходные данные для выбора структуры системы удобно свести в таблицу вида 1.4 (стр. 81), где в первой строке приведены выходные переменные и требования к их точности; в первом столбце приведены управляющие и возмущающие воздействия и их характеристики; во внутренних клетках таблицы записаны параметры, характеризующие динамику объекта по каналу от соответствующего управляющего или возмущающего воздействия к выходной координате.

Проиллюстрируем выделение различных групп переменных на примере куба ректификационной колонны с выносным кипятильником (рис. 1.50). Куб колонны представляет собой емкость, заполненную кубовой жидкостью с концентрацией ключевого компонента с_к; уровень жидкости L. Жидкость находится при температуре кипения; из выносного теплообменника в колонну поступает паро-жидкостная смесь, сепарируется, и паровой поток подается в верхнюю часть колонны, а жидкость стекает обратно в куб. В свою очередь, из нижней части колонны жидкость отбирается, часть ее направляется в кипятильник, а часть — в сборник готового продукта. Расход жидкости в сборник обозначим G, давление в колонне Р, расход пара в колонну V, расход греющего пара в кипятильник G_rp, энтальпию пара q_rp, поток флегмы из верхней части колонны в куб

Выходными переменными являются концентрация и температура в кубе, а также уровень L; управляющими воздействиями могут быть расход греющего пара в кипятильник и расход целевого продукта G. Возмущениями являются расход флегмы, давление в колонне, энтальпия греющего пара. При этом по емкости Куба и номинальным значениям расходов потоков можно оценить постоянные времени; по статическим зависимостям, в частности по кривым равновесия, связывающим концентрацию и температуру в статическом режиме, можно найти коэффициенты усиления. Динамические свойства кипятильника можно оценить по результатам анализа подобных аппаратов

и по имеющимся приближенным аналитическим моделям. Аналогичную оценку можно дать предельным и среднеквадратичным отклонениям Ас и о_с, AL и at.

Анализ статических связей между переменными. Цель такого анализа — выявление статически независимых управляющих воздействий и регулируемых параметров.

Связи между различными переменными могут возникать вследствие выполнения условий материального и теплового баланса, действия тех или иных физико-химических законов.

Например, при регулировании уровня в емкости массовые расходы поступающей и отводимой жидкости в статическом режиме должны быть равны, а уровень в емкости должен быть постоянным. Таким образом, только один из двух расходов является независимым. Если на входе в емкость и на выходе из нее имеется несколько потоков, то условие соблюдения материального баланса уменьшает число независимых расходов на единицу. В кубе ректификационной колонны концентрация и температура жидкости при постоянном давлении связаны в статическом режиме однозначной зависимостью, так как кубовая жидкость находится в состоянии кипения.

Связи между выходными переменными возникают еще и потому, что в системе регулирования часть из них вычисляют, используя значения других переменных. Например, массовый расход газа рассчитывают, используя его объемный расход, температуру, давление и т. п.

При выборе структуры системы регулирования ограничением является следующее правило: переменные, подлежащие стабилизации, следует выбирать таким образом, чтобы они были статически независимы друг от друга, т. е. чтобы в статическом режиме ни одна из них не определялась значениями других.

Так, в кубе ректификационной колонны нельзя регулировать температуру 0 и концентрацию с с помощью двух регуляторов. В качестве регулируемых переменных может быть выбран уровень и одна из величин — с или 6.

Нарушение указанного правила приводит к статической переопределенности системы. Даже если задания регуляторам согласованы со связью между переменными, т. е. условия yi=y°i и У2 = У°2 удовлетворяют объективно существующей связи

система окажется неработоспособной, ибо неизбежные ошибки в задании y°i и у°2 приведут к тому, что равенство f(y°i, г/⁰г) = = 0 не будет выполнено. Последнее' означает, например, что емкость, у которой стабилизированы расходы на входе и выходе, постепенно переполнится или опустеет, несмотря на то, что стабилизаторам расходов установлены одинаковые задания. Поэтому стабилизировать можно лишь один расход и не-

Рис. 1.51. Изменение вектора регулируемых переменных под действием управлений для статически неуправляемого объекта

зависимый от него в статическом режиме уровень в емкости.

Для того чтобы технологический процесс был статически управляем, нужно, чтобы число независимых управляющих воздействий было не меньше числа стабилизируемых переменных (т. е. если размерность вектора и окажется меньше размерности статически независимых составляющих вектора у, то некоторые составляющие у невозможно будет скомпенсировать изменением и).

Однако и в том случае, когда размерность и больше размерности у, объект может оказаться статически неуправляемым, если матрица К коэффициентов усиления, связывающих в статике векторы у к и, имеет неполный ранг.

В статике в линейном приближении векторы и я у связаны соотношением у = Ки, где К — матрица коэффициентов усиления передаточных функций W_u. Для объекта, астатического по некоторому каналу, в матрице К. коэффициент усиления полагают сколь угодно большим.

Матрица К имеет неполный ранг, если нельзя выделить ни одного определителя той же размерности, что и у, отличного от нуля. Геометрически это означает, что изменения вектора у, связанные с изменениями управлений, лежат в пространстве Y в некоторой плоскости, и только те возмущения, которые вызывают отклонения у в этой плоскости, могут быть скомпенсированы управляющими воздействиями.

Пример. Пусть связь между векторами у и и имеет форму

что соответствует равенствам

Изменения управляющих воздействий вызывают только такие изменения i/i и J/2, при которых Д(/₁/Ду₂=0,5. Таким образом, вектор у может в результате изменения и меняться вдоль прямой MN или прямых, параллельных ей. Если в результате действия возмущений значения у\ и уг оказались равными Ум и у2А (рис. 1.51), то изменением и нельзя возвратить вектор у в начало координат.

Если размерность у равна двум, а размерность и — трем, связь между у и и в статике имеет форму

Объект статически управляем, если хотя бы один из определителей

отличен от нуля. . -

Анализ статики объекта по каналам возмущений позволяет в ряде случаев уменьшить число регулируемых переменных. Связь между составляющими у и возмущениями z в статике имеет форму

где k_vj — коэффициенты усиления по каналам возмущения. Если выполнено неравенство

то возмущающие воздействия не вызывают статического отклонения y_v, большего, чем это допустимо. Динамические же отклонения y_v, как следует из передаточных функций (1.49),

Таблица 1.2. Формулы для приближенного выбора параметров регуляторов и оценки среднеквадратичной погрешности регулирования

Рис. 1.52. Зависимость произведения <в_ят от отношения Г/т и пример расчета:

(1.50), заведомо меньше Ay. Таким образом, нет необходимости в специальном регуляторе для стабилизации y_v.

После синтеза системы регулирования следует проверить, не приведут ли изменения управляющих воздействий к существенным отклонениям y_v в результате взаимосвязанности каналов регулирования.

Выбор параметров регуляторов и оценка качества регулирования. При выборе параметров передаточных функций типовых промышленных регуляторов:

пропорционального (П-) R(p) =—S_it

интегрального (И-) R(p) =—S₀/p,

пропорционально-интегрального (ПИ-) R(p)=—S°lp—Si,

пропорционально-интегрального с импульсом по производной

(ПИД-) /?(p)=-S₀/p-S,—Ssp широко используют приближенные формулы (см. раздел 1.2), основанные на методике Циглера — Никольса. Формулы, связывающие настройки регуляторов S₀, S_it S₂ с характеристиками объекта, собраны в табл. 1.2. В этой таблице для статического объекта через оо_я обозначена частота, на которой АФХ объекта пересекает отрицательную действительную полуось (имеет фазовый сдвиг, равный л). Она является корнем уравнения

(1.52)

и лежит в пределах

Удобно находить ©_я по кривой, изображенной на рис. 1.52.

В табл. 1.2 приведены верхние оценки а_у для среднеквадратичного отклонения регулируемой величины при возмущающем воздействии, имеющем дисперсию a²_z. Эти оценки получены следующим образом. Для замкнутой системы с ПИ- и ПИД-регуляторами, настройки которых выбраны по формулам табл. 1.2, амплитудно-фазовая характеристика приближенно запишется в виде

Известно, что при воздействии на систему случайного процесса со спектральной плотностью S_z(co) среднеквадратичная

ошибка выходной координаты у может быть подсчитана как

(1.53)

где А₃с — АЧХ замкнутой системы.

На этапе предварительного выбора структуры системы регулирования спектральная плотность s_z(a) неизвестна, но можно оценить ее дисперсию, связанную со спектральной плотностью, выражением

Для оценки Оу сверху воспользуемся тем, что при заданной o_z среднеквадратичное отклонение у максимально, когда вся энергия возмущающего сигнала сосредоточена на той частоте, на которой функция Л_зс(со) максимальна. Обозначим эту частоту ш_р (она близка к рабочей частоте замкнутой системы) и примем

Подставляя это выражение в формулу (1.53), получим а_у =

= O_zA_3c((i)_p).

Для П-регулятора модуль АФХ замкнутой системы достигает максимума на частотах, близких к нулю, и равен для статического объекта

а для астатического объекта

В системах с ПИ- и ПИД-регуляторами при выборе настроек по табл. 1.2 частота со„ оказывается приблизительно равной (Sok/Ty'²; тогда

Эти величины и использованы для получения оценки среднеквадратичной погрешности.

Если возмущающих воздействий несколько, оценку для а_у можно подсчитать по тем же формулам, подставив

(1.54)

Здесь о^пр_г/ — среднеквадратичные значения возмущений, приведенные ко входу предполагаемого канала регулирования.

Приведение осуществляется по формуле

(1.55)

в которой W_Bj и W_p — частотные характеристики объекта соответственно по каналам возмущения и регулирования. Для статического объекта с передаточной функцией №_Ст(р) =&/(Гр+ + \)е~Р^х

и формула (1.55) примет вид:

(1.56)

где k_B, k_p и Г_в, Г_р — коэффициенты усиления и постоянные времени по каналам возмущения и регулирования.