n(t) = N p(t) − N p(t + t),
где N – число исправных элементов ИС в начале ее эксплуатации.
2.4.Интенсивность отказов
Стечением времени ТУ становятся менее надежными и в процессе эксплуатации отказывают. Если весь период эксплуатации разделить на
равные промежутки времени ti (i = 1,k), то в любой из этих промежут-
ков отказывают ni однотипных объектов.
Числовой характеристикой, которая путем учета отказавших одно- типных объектов позволила бы определить уровень надежности этих объ- ектов в любой момент времени, является интенсивность отказов. Она оп-
ределяется количеством отказов |
ni в интервале ti , отнесенных к ис- |
|||
правно действующим однотипным ТУ в данном интервале: |
||||
λ*i |
= |
|
ni |
, |
Ni |
|
|||
|
|
ti |
||
где Ni – среднее число исправно действующих ТУ в интервале ti . Ин-
декс «i» представляет собой указатель интервала, для которого рассчиты-
вается интенсивность отказа. Для расчета по приведенной формуле необ-
ходимо |
знать величины |
ni , Ni и |
t i . |
Обычно из условия задачи из- |
вестны |
m количество отказавших ТУ |
ni |
и величина интервала времени |
|
ti . Величина Ni по |
своей сути представляет собой математическое |
|||
ожидание числа безотказно проработавших ТУ в течение i-го интервала времени. Наиболее очевидной статистической оценкой этой величины
могло бы стать среднеарифметическое
27
|
m |
ni ) |
|
|
å(N − |
||
Ni = |
i=1 |
|
. |
i |
|
||
|
|
|
|
Однако существует оценка, которая с большей точностью соответствует значению математического ожидания:
|
i−1 |
|
|
|
|
ni . |
Ni = N − å nk |
− |
|
||||
|
k=1 |
|
|
|
2 |
|
Переходя от дискретного времени |
|
t |
к непрерывному ( t → 0), по- |
|||
лучим |
|
|
|
|
|
|
λ(t) = |
1 |
|
dn(t) |
. |
||
N (t) |
|
|||||
|
|
dt |
|
|
||
Введем понятие плотности вероятности отказа в однотипных ТУ.
Если в знаменатели выражения для λ*i величину Ni заменить на N , по-
лучим
fi* = N ntii ,
или, при t → 0,
f (t) = 1 dn(t) .
N dt
Отсюда следует
λ(t) = NN(t) f (t) = pf ((tt)) ,
или
f (t) = λ(t) p(t).
Интенсивность отказов имеет характерные изменения в процессе экс- плуатации. Характерными являются 3 участка, получившие название пе- риодов приработки (I), нормальной эксплуатации (II) и период износа и старения (III). В первом периоде проявляются конструктивно производст-
28
венные недостатки, во II периоде отказы происходят в основном из-за на- рушений или изменений условий эксплуатации. В III периоде отказы оп- ределяются причинами, скрытыми в самом названии этого периода.
2.5. Среднее время безотказной работы
Часто в качестве характеристики надежности используют среднее время безотказной работы.
Обозначим эту величину буквой T . Тогда некоторое количество из множества однотипных ТУ, находящихся в эксплуатации, проработает безотказно какое-то время t ³ T , причем каждый из ТУ – свое, остальные же откажут раньше, чем наступит время T . Отсюда время T можно рас-
сматривать как математическое ожидание отрезков времени безотказной работы этих однотипных ТУ.
λ(t)
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
II |
|
III |
|
|
|
|
||||
Рис. 2. Кривая интенсивности отказов
Среднее время безотказной работы является математическим ожи- данием случайной величины – времени безотказной работы невосстанав- ливаемых ТУ.
29
В соответствие с определением получается
∞
T = òtf (t)dt .
0
Здесь f (t) – плотность вероятности времени отказов однотипных
ТУ.
Статистическим аналогом среднего времени безотказной работы яв-
ляется среднее статистическое время безотказной работы:
|
|
n |
|
|
|
åt j |
|
|
T* = |
j=1 |
, |
|
n |
||
|
|
|
|
где t j |
– время появления отказа j -го ТУ; n – количество отказов в раз- |
||
личные |
j -е моменты времени. |
|
|
2.6. Аналитические зависимости между основными показателями надежности
Вероятность отказов q(t) определяется выражением
q(t) = p(to < t).
С другой стороны, выражение p(to < t) по определению функции рас-
пределения есть не что иное как функция распределения времени до отка- за:
q(t) = F(t).
Тогда
f (t) = dFdt(t) = dqdt(t) .
Учитывая, что
p(t) = 1− q(t),
получим
30
f (t) = − dpdt(t) ,
Отсюда следует
f (t) = q′(t) = − p′(t) .
Подставим значение плотности вероятности отказов в выражение интен- сивности отказов:
λ(t) = pf ((tt)) .
Врезультате получится дифференциальное уравнение относительно веро- ятности безотказной работы:
λ(t) = − pp′((tt)) .
Эта важная зависимость широко используется в теории надежности. Она
является обобщенным законом надежности невосстанавливаемых ТУ в дифференциальной форме. Результатом интегрирования этого уравнения
будет
t |
|
|
|
− ò |
λ(t)dt |
= ln p(t), |
|
0 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
t |
λ(t)dt |
p(t) = e |
-ò |
||
0 |
. |
||
Полученное выражение представляет собой обобщенный закон надежно-
сти в интегральной форме. Подставляя |
этот |
результат в выражение |
|
f (t) = λ(t) p(t), получим |
|
|
|
|
t |
λ(t)dt |
|
-ò |
|
||
f (t) = λ(t)e |
0 |
|
. |
Проведем аналогичные преобразования для среднего времени безот- казной работы:
31
∞
T = ò
0
∞ |
dp(t) |
∞ |
|
tf (t)dt = −òt |
|
dt = −òtdp(t). |
|
dt |
|||
0 |
0 |
Интегрируем полученное выражение по частям
∞ |
|
|
|
|
∞ |
− òtdp(t) = − tp(t) |
|
0∞ + ò p(t)dt . |
|||
|
|||||
0 |
|
|
|
0 |
|
Левое слагаемое - tp(t) |
|
∞ |
= 0, так как p(∞) = 0. Поэтому |
||
|
|||||
|
|
0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = ò p(t)dt , |
||
|
|
|
0 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ −òλ (t )dt |
||
|
|
|
T = òe 0 |
. |
|
|
|
|
0 |
|
|
Это выражение связывает среднюю наработку до отказа с вероятно- стью безотказной работы. Отсюда следует, что средняя наработка до отка- за равна площади под кривой вероятности безопасной работы. Необходимо учитывать, что приведенные показатели надежности относятся к работо- способным объектам, включенным в работу в нулевой момент времени.
Рассмотрим более подробно период нормальной эксплуатации (рис. 2). В этот период в основном имеют место внезапные отказы. Они, имея случайный характер происхождения, подчиняются закону распреде- ления, вытекающему из условий постоянства интенсивности отказов. По- этому для этого периода можно считать, что интенсивность отказов явля- ется практически постоянной величиной, то есть λ(t) = const = λ . В
связи с этим основные зависимости примут вид:
p(t) = e−λt ,
q(t) = 1− p(t) = 1− e−λt , f (t) = λe−λt ,
32
∞ |
−λ t |
|
1 |
∞ |
−λ t |
d(λt) = |
1 |
|
T = ò e |
|
dt = - |
|
ò e |
|
|
. |
|
|
λ |
|
λ |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Полученное выражение для p(t) называют экспоненциальным законом надежности. Само это выражение, а также выражение для определения q(t) соответствуют аналогичным вероятностям, полученным в п. 2.2 на-
стоящей главы. Это означает, что в период нормальной эксплуатации по- ток отказов является простейшим.
Принимая во внимание последнее выражение, получим
− t
p(t) = e T .
При t = T вероятность безотказной работы будет равна
p(t) = e−1 = 1e ≈0,37.
Это говорит о том, что для обеспечения высокого уровня надежности не- восстанавливаемых ТУ следует выбирать срок их службы намного мень-
ший, чем среднее время безотказной работы. Так, например, если Tt = 0,1,
то p(t) = 0,9, или сокращение срока службы в 10 раз ведет к увеличению вероятности безотказной работы приблизительно в 2,4 раза.
Если срок службы ТУ во много раз меньше среднего времени безот- казной работы, то характеристики надежности удобно рассчитывать по уп- рощенным формулам. Разлагая выражение
− t
p(t) = e T
в ряд и принимая во внимание только первый член этого ряда, получим:
p(t) ≈ 1− Tt = 1− λt, q(t) ≈ Tt = λt.
33