Раздел 10

Функции комплексного переменного (фкп).

Операционное исчисление.

Общий объем курса: [1]–гл. 1-- 5, 7; [2] -- гл. 7: пп.1, 2, 4 – 6; гл. 8: пп.1 – 4.

Литературные указания к задачам контрольной работы:

№1 – [3]: гл.1 пп. 8 – 12 [2]: нет материала

№2 – [3]: гл.2 пп. 36 – 46, 49, 50, 53 [2]: гл. 7 пп. 1, 2

№3 – [3]: гл.4 пп. 88 – 93 [2]: гл. 7 п. 5

№4 – [3]: гл.5 пп. 105 – 109 [2]: гл. 7 п. 6

№5 – [3]: гл.7 пп. 148 -- 158 [2]: гл. 8 п. 4

№6 – то же, что для задачи №5

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения производной и дифференциала фкп.

2. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия для аналитичности функции

3. Дайте определение интеграла от ФКП и сформулируйте его основные свойства.

4. Сформулируйте основную теорему Коши.

5. Дайте определение ряда Лорана. Что является областью сходимости ряда Лорана?

6. Дайте классификацию изолировнных особых точек аналитической функции. Приведите примеры.

7. Дайте определение вычета в изолированной особой точке. Приведите формулы для вычисления вычетов в зависимости от типа особой точки.

8. Сформулируйте теорему Коши о вычетах. Приведите примеры ее применения.

9. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется изображением и оригиналом?

10. Докажите свойство линейности изображения.

11. Докажите теорему смещения.

12. Докажите теорему запаздывания.

13. Докажите теорему подобия.

14. Докажите теорему о дифференцировании оригинала.

15. Докажите теорему об интегрировании оригинала.

16. Докажите теорему о дифференцировании изображения.

17. Что называется сверткой двух оригиналов? Докажите теорему о свертке.

18. Изложите суть операционного метода решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

Задания для контрольной работы

1. Дано комплексное число а. Требуется :

1. записать число а в алгебраической и тригонометрической формах,

2. найти все корни уравнения z³ + a = 0.

1.1. a = 1.2. a =1.3. a =1.4. a =

1.5. a = 1.6. a =1.7. a =1.8. a =

1.9. a = 1.10. a =1.11. a =1.12. a =

1.13. a = 1.14. a =1.15. a =1.16. a =

1.17. a = 1.18. a = 1.19. a = 1.20. a =

Варианты для упражнений:

1.21. a = 1.22. a = 1.23. a = 1.24. a =

2. Представить заданную функцию w=f(z), где z=x + i y, в виде w=u(x,y) + i v(x,y) ; проверить, является ли она аналитической, и найти значение ее производной в заданной точке z₀.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

Варианты для упражнений:

2.21. 2.22.

3. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀ и определить область

сходимости этого ряда :

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

Варианты для упражнений:

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

4. Вычислить действительные интегралы, применяя теорию вычетов :

1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

Варианты для упражнений:

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

5.1. x’’+ 6x’+ 9x = 9e ^{3 t} ; x(0)=0; x’(0)=0

5.2. x’’’+ x’’ = sin t ;x(0)=1; x’(0)=1; x’’(0)=0

5.3. x’’- x’ = t e ^t ; x(0)=0; x’(0)=0

5.4. x’’’- 2x’’+ x’ = 4 ; x(0)=1; x’(0)=2; x’’(0)= -2

5.5. x’’’’+ x’’’ = e ^t ; x(0)= -1; x’(0) = x’’(0) = x’’’(0) =0

5.6. x’’- 9x = e ^{– 2 t} ; x(0)=0 ; x’(0)=0

5.7. x’’+ x’ = t ² + 2 t ; (0)=4; x’(0)= - 2

5.8. x’’+ 9x = cos 3 t ; x(0)=1; x’(0)=0

5.9. x’’’+ x = 1 ; x(0)= x’(0)= x’’(0)=0

5.10. x’’+ 3x’+ 2x = 0 ; x(0)=0; x’(0)=1

5.11. x’’+x’+x = 7e ^{2 t} ; x(0)=1; x’(0)=4

5.12. x’’- 4x = t – 1 ; x(0)=0; x’(0)=0

5.13. x’’+ 2x’+ x = cos t ; x(0)=0; x’(0)=0

5.14. x’’+ 3x’+ 2x = 1+ t+ t ² ; x(0)=0; x’(0)=1

5.15. x’’+ 4x = 8 sin 2 t ; x(0)=1; x’(0)=0

5.16. x’’+ 9x’ = cos t ; x(0)=0; x’(0)=0

5.17. x’’- 2x’- 3x = 2 t ; x(0)=1; x’(0)=1

5.18. x’’+ 4x = 4e ^{2 t} + 4t ² ; x(0)=1; x’(0)=2

5.19. x’’’+ 3x’’- 4x = 0 ; x(0)= x’(0)=0; x’’(0)=2

5.20. x’’+ 4x = sin 2 t ; x(0)=0; x’(0)=1

Варианты для упражнений:

5.21. x’’+ 2x’+ 10x = 2 e ^{– t} cos 3 t ; x(0)=5; x’(0)=1

5.22. x’’ – 2x’ = e ^t (t ² + t – 3) ; x(0)=2; x’(0)=2

4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.