1.2. Основные операции алгебры логики

В применении к высказываниям логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Логические операции реализуются в виде функций алгебры логики (логических функций, булевых функций).

Над высказываниями можно производить различные логические операции: инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность и неравнозначность.

Логические функции можно задавать логическими формулами и таблично. В виде таблицы булевы функции задают значениями 0 и 1 на каждом наборе значений ее аргументов. Такие таблицы называются таблицами истинности.

1.2.1. Инверсия

Логическую операцию инверсия (отрицание, операция «НЕ») можно применить как к простому, так и к сложному высказыванию. Логическое отрицание образуется из высказывания А с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что А», «А не имеет места».

Логическое отрицание получает из истинного высказывания ложное, и, наоборот, из ложного – истинное.

Интересует только истинность высказывания, имеющего форму (вне зависимости от его содержания).

Пример 1.1. А = Два умножить на два равно четырем. Это высказывание истинно. Высказывание, образованное с помощью операции логического отрицания, Два умножить на два не равно четырем – ложно.

Пример 1.2. B = Все люди любят молоко. Понятно, что В – ложное высказывание. Неверно, что все люди любят молоко, значение . Следует обратить внимание на то, что высказывание Все люди не любят молоко не является отрицанием высказывания В, т.к. есть люди, которые любят молоко.

Таблица 1.1

Таблица истинности функции отрицание

а 0 1 1 0

Замечание 1.1. В логике при образовании инверсии предпочитают оборот речи «неверно, что», этим подчеркивая отрицание всего высказывания.

Отрицание – это логическая (двоичная) функция одной переменной. Знак операции – черта над аргументом, например, (можно). Такая запись читается: «неa» или «отрицание a». Таблица истинности функции отрицание приведена в табл. 1.1.

1.2.2. Конъюнкция

Таблица 1.2

Таблица истинности функции конъюнкция

а b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Если есть два высказывания А и В, то конъюнкция (логическое умножение, операция «И») образуется из них с помощью оборотов речи: «А и В», «как А, так и В», «не только А, но и В», «А вместе с В», «А, несмотря на В», «А, в то время как В».

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Высказывая конъюнкцию, утверждают, что выполняются оба события, о которых идет речь в составляющих высказываниях.

Пример 1.3. А = Наступил январь, В = студенты сдают экзамены. Новое высказывание А & В (или А В) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания А и В истинны одновременно, т. е. когда истинно, что наступил январь и что студенты сдают экзамены.

Конъюнкция – это такая логическая функция, которая равна единице тогда и только тогда, когда все аргументы функции равны единице. Другое определение – конъюнкция – это такая логическая функция, которая равна нулю, если хотя бы один аргумент функции равен нулю. Знак операции: «&» или «». Таблица истинности функции конъюнкцияприведена в табл. 1.2.