лекция №2 / Лекция № 2_(II семестр) Модели реш_функц_и_выч_задач

МОДЕЛИ РЕШЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Задачи, которые решает человек в своей образовательной, научно-исследо-вательской, инженерной деятельности, делятся на две категории: вычислительные и функциональные.

Цель вычислительных задач – расчет параметров, характеристик, обработка данных. Функциональные задачи – это проектирование и оптимизация систем, оптимальное управление объектом, обработка баз данных. В основе решения задач лежит научный прием, метод – моделирование (см. схему на рисунке 1).

Р еальный изучаемый или проектируемый объект (физическая система, процесс, явление), называют оригиналом.

Моделью называют такой материально реализованный или мысленно представляемый (физический или абстрактный) объект, который в процессе познания (изучения) замещает реальный объект (оригинал), сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его свойства. Модель отображает те особенности, свойства и характеристики оригинала, которые важны для достижения конкретной поставленной цели (задачи) моделирования.

Моделирование – это метод научного познания, инструмент изучения окружающих объектов и процессов на основе исследования их моделей.

В некоторых случаях моделирование – единственный способ изучения сложного объекта, над которым невозможно проведение эксперимента (например, технологические процессы, экономические процессы, экологические системы, взаимодействие элементов Солнечной системы, процессы в недрах звёзд, полёт космического корабля и т.д.). Моделирование дает возможность исследовать как медленно протекающие процессы (коррозия металлов, образование минералов), так и быстро протекающие процессы (термоядерные реакции, взрывы). Моделирование позволяет сократить время изучения реального объекта, снизить материальные затраты и повысить эффективность исследований.

Форма и содержание модели определяются постановкой задачи, целью исследования и уровнем знаний исследователя об оригинале.

Модель создается для достижения одной из следующих целей:

− интерпретация прошлого поведения объекта на основе выявление существенных закономерностей и причинно-следственных связей,

− прогнозирование будущего поведения объекта при варьировании условий его испытания, при имитации экстремальных режимов работы,

− оптимизация параметров системы или её структуры,

− создание алгоритма оптимального управления системой (технологическим процессом, запасами) с точки зрения заданного критерия,

− проектирование технического объекта.

Единую классификацию моделей составить практически невозможно из-за многозначности понятия «модель». Рассмотрим классификацию моделей по степени их абстрагирования от оригинала (рис. 2).

Геометрическая модель отображает пространственные и геометрические свойства оригинала (макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолётов, судов, локомотивов, автомобилей).

Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала, т.е имеет ту же физическую природу, что и оригинал. Она представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала и создаётся по законам теории подобия. Например, установка «Токамак» – физическая модель термоядерных реакторов атомных электростанций.

А налоговая модель имеет физическую природу, отличную от оригинала, но динамика её внутренних процессов описывается теми же математическими соотношениями, что и в оригинале. В качестве аналоговых моделей используют электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические и другие системы.

Мнемоническая модель представляет знания об изучаемом объекте в форме схемы, графа, чертежа, диаграммы, химической формулы. Граф является наглядным средством представления состава и структуры системы.

Математическая модель отображает свойства реального объекта на языке математических формул и уравнений.

Вычислительная модель – программа, реализующая алгоритм решения математической модели.

Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие). В настоящее время в компьютерном моделировании используются несколько технологий, реализуемых пакетами Matlab - Simulink- Stateflow, Model Vision Studium, Dymola и др.

Имитационное моделирование является по своей сути компьютерным моделированием. Применяется при исследовании сложных систем. При имитационном моделировании воспроизводятся (имитируются) логическая структура, алгоритм функционирования системы во времени, последовательность и динамика процессов, протекающих в ней. При этом исследуемый объект представляется как система (совокупность) элементов, взаимодействующих между собой и с внешней средой.

Информационная модель отображает информационные процессы (сбор, передачу, хранение, обработку данных) с применением компьютерных технологий.

В зависимости от постановки задачи, цели исследования и имеющейся информации об изучаемом (проектируемом) объекте (системе) применяют соответствующую технологию моделирования: физическое моделирование, аналоговое моделирование, вычислительный эксперимент на базе математического моделирования, компьютерное моделирование, имитационное моделирование.

Из всех способов познания мира математическое моделирование занимает особое место, так как позволяет сводить исследования сложнейших процессов и систем к решению математических задач и использовать при этом весь богатейший арсенал математических методов и достижений компьютерных технологий. Математическая модель является основой для создания вычислительной, компьютерной, имитационной, информационной моделей.

По способу получения математические модели делят на теоретические и эмпирические (формальные). Теоретические модели описывают физические закономерности, свойства и процессы, наблюдаемые в объекте-оригинале. Они формируются на основе соотношений, отображающих фундаментальные законы природы (законы сохранения энергии, массы, импульса) и феноменологические законы, сформулированные на основе опытов, не раскрывающие физической сущности явлений (законы Ома, Ампера). Эмпирические модели получают экспериментальным путем, когда для измерения доступны только входные и выходные сигналы исследуемого объекта, представляемого как «черный ящик». Информация о физических свойствах и внутренних процессах объекта отсутствует. Эмпирическую модель получают в результате обработки экспериментальных данных как некоторую приближенную аналитическую функцию, отображающую связь между входами и выходами объекта.

Основой для построения теоретических математических моделей является закон функционирования моделируемой системы, связывающий входные воздействия, выходные величины (процессы) и параметры системы. Он может быть задан в виде функции, функционала, логических условий и т.д. Если закон функционирования объекта не содержит параметра времени t, т. е. не зависит от времени, то объект описывают статической моделью. В статической модели время t не входит в качестве независимой переменной.

Систему, поведение которой зависит от времени, описывают динамической моделью. Динамической называют модель, в которую в качестве независимой переменной входит время.

Для динамических систем вводится понятие состояние, которое полностью и однозначно определяется совокупностью переменных состояния. Состояние динамической системы изменяется с течением времени. Множество возможных состояний системы называют пространством состояний. Закон, в соответствии с которым, система переходит из одного состояния в другое, называют функцией переходов.

Модели для непрерывных во времени процессов часто строят в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для исследования математических моделей в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных алгебраических уравнений и систем уравнений могут быть применены аналитические (точные или приближенные), численные и качественные методы. Аналитические точные методы обеспечивают получение решения задачи в виде конечной аналитической формулы, связывающей искомые величины с заданными. Аналитические приближенные методы позволяют построить приближенное аналитическое выражение, аппроксимирующее искомое решение модели, например, в виде частичной суммы членов бесконечного ряда. Численные методы обеспечивают получение приближенного решения модели посредством реализации вычислительного алгоритма, предполагающего переход от исходной непрерывной модели к дискретной модели. Качественные методы позволяют исследовать свойства изучаемого объекта без решения его модели.

Для описания ряда процессов и систем, состояния которых изменяются дискретно, т. е. в определенные дискретные моменты времени t₁, t₂, t₃, … , t_n используют дискретные модели. К этому классу моделей принадлежат конечные автоматы. Модель типа конечный автомат отображает перечень конечного числа состояний моделируемого объекта и правила перехода из одного состояния в другое. Конечный автомат можно применить для описания функционирования элементов и узлов ЭВМ, цифровых систем автоматического управления, светофора и т.д.

Процессы, определяемые не только функциями времени, но и функциями пространственных координат, описываются моделями в форме дифференциальных уравнений в частных производных.

Математические модели, коэффициенты (параметры) которых не зависят от времени, относятся к классу стационарных. В нестационарных моделях коэффициенты (параметры) являются функциями времени.

Для системы, параметры и входные воздействия которой можно рассматривать как детерминированные (однозначно определяемые), строят детерминированную модель. В противном случае, когда влиянием случайных факторов пренебречь нельзя, систему описывают стохастической моделью. Стохастическая модель устанавливает вероятностные соотношения между входом и выходом системы и позволяет сделать статистические выводы о некоторых вероятностных характеристиках исследуемого процесса. К классу дискретных стохастических моделей принадлежит вероятностный автомат, в котором переход из одного состояния в другое происходит случайным образом. Вероятностный автомат может применяться для моделирования процессов отказов аппаратуры, функционирования сложной информационной системы, игрового автомата, и т.д.

Непрерывные вероятностные модели применяются для описания систем массового обслуживания (СМО), под которыми понимают динамические системы, предназначенные для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Пример СМО: поступление и обслуживание заявок на обработку информации ЭВМ от удалённых терминалов. Непрерывные вероятностные модели применяют также для моделирования систем управления запасами (например, управление поставками сырья и комплектующих на предприятие), для описания задач теории очередей. Непрерывной вероятностной моделью описывают изменение координат частицы в броуновском движении и т.д.

Модели могут формироваться в виде передаточных функций, интегральных, алгебраических, трансцендентных уравнений, в пространстве состояний, в форме частотных функций и т. д.

Требования к модели. 1. Модель должна соответствовать поставленной цели моделирования. 2. Модель должна быть адекватной. Адекватность модели определяется возможностью ее использования для решения конкретной задачи, степенью ее соответствия оригиналу в рамках принятых ограничений и условий.

Информационные модели

Информационная модель — это описание объекта в образной или знаковой форме. Образные информационные модели (рисунки, схемы, фотографии и др.) представляют собой зрительные образы объектов, нанесенные на какой-либо носитель информации (бумага, фото_ и кинопленка и др.). Образные информационные модели широко используются в образовании — это учебные плакаты по различным дисциплинам.

Знаковые информационные модели строятся с использованием различных языков (знаковых систем). Знаковыми информационными моделями являются тексты (например, программа на языке программирования), формулы (например, второй закон Ньютона f = m* a), таблицы (например, периодическая таблица элементов Д. И. Менделеева) и т. д.

Информационные модели, описывающие объект на естественном языке, называются вербальными. Например, различного рода инструкции – это вербальные информационные модели поведения человека в тех или иных ситуациях.

Опишем кратко другие типы информационных моделей.

Табличная информационная модель, или просто прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, применяется для описания объектов, обладающих одинаковыми наборами свойств.

Иерархическая информационная модель характеризуется распределением объектов по уровням. На первом уровне может находиться только один объект. Объект нижнего уровня может быть связан только с одним объектом более высокого уровня.

Сетевая информационная модель применяется для описания систем со сложной структурой, в которой связи между объектами носят произвольный характер.

Определим понятия формализации и формальных языков, используемые при построении формальных информационных моделей.

Формализацией называется процесс построения информационных моделей с привлечением формальных языков.

К формальным языкам относятся языки программирования, язык химических формул, язык математики, язык алгебры логики и т. д.

Информационная модель применяется для описания информационных объектов (процессов). Информационный объект представляет собой описание реального объекта в виде набора его характеристик (реквизитов). Рассмотрим несколько универсальных информационных моделей.

База данных – это средство накопления и организации больших объемов структурированных данных. Система управления базами данных (СУБД) – комплекс языковых и программных средств, предназначенных для создания, хранения и управления данными. Логическая структура данных, хранимых в базе данных, называется мо­делью представления данных. Различают иерархическую, сетевую и реляционную модели данных.

Искусственный интеллект – одно из направлений кибернетики, развивающее и реализующее идею моделирования интеллектуальных функций человека и создания на этой основе искусственного подобия человеческого разума. Рассматривается два пути решения задачи: нейрокибернетика, ориентированная на аппаратное моделирование структуры человеческого мозга (нейронные сети) и кибернетика «черного ящика», ведущая поиск моделей решения интеллектуальных задач на существующих компьютерах.

Экспертные системы – это программные комплексы, объединяющие и накапливающие знания специалистов в конкретных предметных областях, обладающие возможностями анализировать данные, консультировать и давать рекомендации по запросу пользователя. Ядро экспертной системы - база знаний, в которой хранятся знания в виде фактов (утверждений) и правил (процедур). Для представления знаний используют следующие модели: продукционные, семантические сети, фреймы, формальные логические.