2 Основы квантовой физики

Решению задач должна предшествовать проработка материала данной темы по лекциям и учебникам. Лучше выбрать из списка литературы какое-нибудь одно пособие и пользоваться все время им (обозначение одних и тех же величин в различных пособиях могут оказаться различными). Если после тщательного изучения темы по одному пособию материал не понят, целесообразно прочи-

тать то же самое в другой книге.

В тексте методических указаний даются ссылки на литературу с указанием порядкового номера пособия в общем списке. Пособия [4] и [6] имеют то преимущество, что в них уделяется значительно больше внимания качественной стороне физических явлений, чем, например, в пособиях [2] и [3]. Пособие [7] следует использовать лишь для углубленного изучения отдельных вопросов и при решении задач повышенной трудности. Как известно, любая наука – это, в первую очередь, язык, система понятий. Для выяснения смысла любого физического термина неоценимую помощь окажет книга [8] (за ней нужно обратиться в научный отдел библиотеки).

Приступая к решению задачи, начинайте не с поиска подходящей формулы, а попытайтесь понять, о каком физическом явлении идет речь в задаче. Полезно переписать условие задачи в тетрадь полностью, без сокращений: иногда одно слово является ключевым, если оно потеряно, задача меняет смысл. Затем целесообразно сделать рисунок, если это возможно. Успешное решение задачи в значительной степени зависит от того, насколько удачно Вы введете буквенные обозначения для физических величин. Обдумывая задачу, попытайтесь предугадать ответ, хотя бы порядок его величины. Это поможет избежать ошибок, которые часто возникают при расчетах на микрокалькуляторах.

Желаем успеха!

В этом параграфе представлены задачи, которые изучают те самые явления,. Кратко приведем основные формулы, описывающие названные явления (очевидно, что для изучения самих явлений чтение учебников совершенно необходимо).

Наиболее существенный вклад в развитие квантовых представлений о природе излучения был внесен при разрешении проблем теплового излучения, где противоречия между оптическими представлениями об излучении и результатами экспериментов проявились наиболее остро (эти противоречия получили название ультрафиолетовой катастрофы). На основе квантовых представлений об излучении Макс Планк получил формулу, носящую его имя

Задача 39. (2) Спираль утюга, изготовленная из нихромовой проволоки диаметром 0,30 мм и длиной 10,6 м, нагревается до температуры 1000 К. Излу-

41

чательная способность спирали в три раза меньше, чем у абсолютного черного тела. За какое время спираль излучает 10 Дж энергии?

Задача 42. (1) Вычислить длину волны де Бройля, которую можно сопоставить протону, имеющему импульс 5,0·10–21 кг·м/с.

Задача 48. (2) Максимальное число квантов с длиной волны 100 нм, которое может испустить при торможении позитрон, равно 10. Какова дебройлевская длина волны этого позитрона? Нужно ли учитывать волновые свойства этого позитрона при столкновении его с протоном?

Задача 49. (2) Каково максимальное число квантов с длиной волны 100 пм, которое может испустить при торможении позитрон, ускоренный перед этим разностью потенциалов 100 кВ? Нужно ли учитывать волновые свойства этого позитрона при столкновении его с протоном?

Задача 54. (3) Вычислить де-бройлевскую длину волны альфа-частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов 7000 МВ.

Задача 55. (3)

Задача 66. (3) В последние годы широкое распространение приобрели исследования металлических кластеров – частиц металла, содержащих от нескольких десятков до нескольких десятков тысяч атомов. Каково должно быть минимальное число атомов в натриевом кластере, чтобы можно было обнаружить отклонения от классической механики, изучая его броуновское движение при температуре плавления?

Задача 69. (2). Пусть плотность вероятности попадания фотонов на экран имеет вид гауссова распределения. Определить вероятность попадания фотонов в интервал x 0,01 ;0,3 .

…

Плотность вероятности f(x) представляет собой функцию распределения, которая показывает, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в окрестности точки x (в тех частях числовой оси, где функция распределения больше, частица встречается чаще, и наоборот). Математический смысл плотности вероятности состоит в том, что через нее выражается малая вероятность dΠ найти частицу в малом интервале dx вблизи заданной точки (в интервале от x до x+dx):

Формулу (14) можно считать определением плотности вероятности.

Как правило, функция распределения (плотность вероятности) удовлетворяет условию нормировки

Довольно часто плотность вероятности имеет вид гауссова распределения:

42

Это распределение нормировано на отрезке x (+∞,-∞), т. е.

fG x dx 1, (16)

его параметр σ называется дисперсией.

Если плотность вероятности не зависит от времени, то говорят, что частица находится в стационарном состоянии. Волновые функции, соответствующие стационарным состояниям, зависят от времени по закону ℮ i W t / ћ и называются собственными волновыми функциями. Вся информация о плотности вероятности содержится в их координатной зависимости. Эта часть собственной волновой функции называется стационарной волновой функцией. Обычно стационарные состояния возникают при финитном движении частицы. Простейшим случаем такого движения является движение частицы в бесконечно глубо-

кой одномерной прямоугольной потенциальной яме (БГОППЯ). Соответствующие стационарные волновые функции имеют вид:

где a -- ширина потенциальной ямы; Cn - нормировочные постоянные.

В случае пространственного движения частицы нормировка амплитуды вероятности осуществляется интегрированием по объему:

Здесь Θ – азимутальный угол.

Эта формула является функцией распределения. Вы при изучении физики впервые столкнулись с формулой такого типа. Функции распределения играют огромную роль во многих областях физики, и вы еще не раз встретитесь с выражениями такого типа. Чтобы разобраться, что такое функция распределения, см. Приложение 1.

Наличие корпускулярно-волнового дуализма частиц вовсе не означает, что частицы вещества являются волнами. Вообще, попытки понять дуализм с механистической точки зрения скорее приведут к противоречиям. Монохроматическая волна – протяженный объект, а частица локализована в некоторой области пространства. Представление частиц как волнового пакета также приводит к противоречию, так как волновой пакет вследствие дисперсии размывается в пространстве, а частица, конечно же, нет.

43