Сети Петри

Рисунок 6 – Сеть Петри, описывающая процесс движения поездов метрополитена

С помощью модели (рисунок 6) может быть решен целый комплекс проблем. Например, время прохождения каждого перегона, можно определить число поездов, одновременно движущихся по кольцу, при котором интервал между моментами отправления поездов с каждой станции наименьший.

Матричный метод анализ сетей Петри

Пусть имеется сеть Петри N(P,T,J,O), состоящая из n позиций и m переходов при начальной маркировке . При этом размер входной матрицы J – (nxm), а выходной O – (mxn); J={}, – число дуг от позиции к переходу , – число дуг от перехода к позиции.

Введем m m-мерных строк , таких, что для все элементы кроме j-го равны нулю, а j-й равен единице.

Тогда переход в маркировке разрешен, если

(1)

В выражении (1) слева и справа от знака неравенства находятся вектор-строки. Неравенство выполняется. Если оно справедливо для всех элементов этих вектор-строк.

В результате запуска разрешенного перехода получаем новую маркирвку:

(2)

где – матрица размера [mxn].

Пусть имеется последовательность срабатываемых переходов . Тогда при начальной маркировке в результате последовательного срабатывания переходов получим маркировку

(3)

где – вектор-строка запусков последовательности ; элемент вектора , стоящий на i-м месте, – число запусков перехода в последовательности .

Очевидно, что компоненты вектора – неотрицательные числа.

Матричная теория СП является инструментом для решения проблем сохраняемости и достижимости.

Приведем условия сохраняемости СП. Для сохраняемой сети для всех достижимых маркировок имеет место соотношение

=const,

(4)

где – вектор-столбец размерности n, все элементы которого равны единице.

Тогда по условию (3)

=0=

(5)

Поскольку выражение (5) должно выполняться при любых , то для сохраняемости сети необходимо и достаточно, чтобы

(6)

Для решения задач о достижимости маркировки из маркировки следует найти последовательность запусков , которая приводит из в .

Для этого необходимо найти вектор-строку размерности m с целыми и неотрицательными компонентами, удовлетворяющую следующему матричному уравнению

(7)

Решение уравнения (7) сводится к решению системы n-линейных уравнений (n – число позиции в СП) с m неизвестными (-компонента вектора – число запусков перехода ; m – число переходов в СП). Очевидно, что эта система может вообще не иметь ни одного решения с отрицательными целыми , иметь единственное решение или иметь бесконечное множество решений. Если нет ни одного решения с целочисленными неотрицательными компонентами, то маркировка недостижима из , но даже если имеется хотя бы одно целочисленное неотрицательное решение, то сделать вывод о достижимости нельзя по следующим причинам:

– матрица D не полностью отражает структуру СП. Так наличие в СП «петель» (некоторый переход имеет входы и выходы из одной позиции) в матрице D не находит отражения, поскольку при вычитании из O матрицы соответствующие элементы взаимно уничтожаются;

– решение матричного уравнения (7) не содержит информации о последовательности срабатывания переходов в векторе запуска . При этом возможна ситуация, когда не удается реализовать полученное число запусков каждого перехода.

Можно сделать вывод о том, что наличие положительного целочисленного решения уравнения (7) является лишь необходимым условием для достижимости, но недостаточным.

Например, в СП показанной на рисунке (?), для проверки достижимости маркировки из маркировки необходимо решить матричное уравнение

(8)

Уравнение имеет решение , соответствующее следующим последовательностям срабатывания переходов

и .

Но ни одна из этих двух последовательностей переходов не может быть исполнена, поскольку в СП при нет разрешенных переходов.

Значения матриц J, O на рисунке (?) следующие:

Обобщение сетей Петри

Рассмотренные выше СП называются простыми сетями Петри. Не все информационные процессы удается описать с помощью простых сетей. В связи с этим появились различные обобщения СП.

Приоритетные сети. В простой СП при наличии нескольких разрешенных переходов для срабатывания выбирается только один, причем любой.

В реальных информационных процессах часто указывается порядок совершения событий. Для этого событиям присваиваются приоритеты. Моделирование таких систем осуществляется приоритетными сетями.

Приоритетная сеть расширена относительно простой сети введением множества приоритетов. При этом каждому переходу соответствует его приоритет .

Правило срабатывания переходов изменяется. Если в сети существует несколько разрешенных переходов, то срабатывает переход с наибольшим приоритетом.

Синхронные сети. В простой СП не предусмотрено одновременное срабатывание разрешенных переходов. Последовательное срабатывание переходов, разрешенных в момент, может привести к тому, что какой-либо из переходов, разрешенный в момент , в результате срабатывания других переходов перестанет быть разрешенным, т.е. вообще не сработает.

В синхронных сетях все разрешенные и неконфликтующие переходы срабатывают одновременно: некоторая начальная маркировка изменяется на такую маркировку , которая является результатом срабатывания всех переходов, разрешенных в маркировке .

Временне сети (ВС). ВС позволяют оценивать временные характеристики систем. Особенно важны такие оценки для систем реального времени. Во временнй сети каждому переходу соответствует некоторое вещественное число , которое означает время срабатывания этого перехода. От момента начала срабатывания перехода до окончания срабатывания разрешающие маркеры перехода получают признак занятости и не могут использоваться для разрешения других переходов.

Раскрашенные сети (РС). В простой сети все маркеры одинаковы, и различные условия разрешения переходов можно моделировать лишь количество маркеров.

Раскрашенные СП позволяют сопоставить маркерам некоторые признаки. Правила срабатывания переходов определяются с учетом этих признаков. Например, при моделировании средств защиты данных в информационных системах маркеры могут отображать пользователей системы. Имеющих разные полномочия. Для разнотипных пользователей вводятся разноцветные маркеры со своими правилами перемещения между позициями.

Иерархические СП (ИС). ИС являются обобщением простых СП и служат для можелирования иерархических систем, которые наряду с неделимыми компонентами содержат составные компоненты, сами представляющие собой системы.