1.2. Колебания и волны

Периодическое движение. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение Гармонический осциллятор: пружинный, физический и математический маятники, идеальный электрический колебательный контур. Обобщенная координата, амплитуда, циклическая частота, период и фаза колебаний. Кинематические, динамические и энергетические характеристики гармонических колебаний.

Векторная диаграмма. Сложение однонаправленных гармонических колебаний. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу.

Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность. Апериодический процесс.

Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонансная кривая. Резонанс. Вынужденные колебания в электрических цепях. Переменный ток. Активное и реактивное сопротивление.

Образование волн. Продольные и поперечные волны. Волновое уравнение и его решение. Частота. Период. Длина волны. Волновое число. Уравнение бегущей волны.

Электромагнитные волны, их свойства. Скорость распространения электромагнитных волн. Волновой вектор. Энергия волны. Вектор Умова-Пойнтинга. Интенсивность волны.

Интерференция волн. Стоячая волна. Дифракция волн. Поляризация волн.

2. Примеры решения задач

З а д а ч а 1. Бесконечная заряженная плоскость с поверхностной плот-ностью заряда 6,00 нКл/м² расположена перпендикулярно бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда 5,00 нКл/м. На биссектрисе угла между плоскостью и нитью на расстоянии 500 мм от вершины угла находится точечный заряд 10,0 нКл. Найти величину и направление напряжен-ности электрического поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от его вершины на расстоянии 100 мм; разность потенциалов электрического поля между двумя точками, расположенными на биссектрисе угла на расстоянии 100 и 300 мм от вершины.

Дано:	СИ	Решение.
σ = 6,00 нКл/м2	Кл/м2
τ = 5,00 нКл/м	Кл/м
q = 10,0 нКл	Кл
a = 100 мм	0,1 м
b = 300 мм	0,3 м
c = 500 мм	0,5 м
α = 45º
? (φ1 – φ2)  ?

Электрическое поле создается тремя заряженными телами: бесконечной плоскостью, бесконечно длинной нитью и точечным зарядом. В точке 1 (рис. 1), лежащей на биссектрисе угла на расстоянии а, равном 10 см, от вершины, определяем направление векторов напряженности ,,электрического поля, созданного плоскостью (), заряженной нитью () и точечным зарядом (). Результирующую напряженностьв этой точке найдем по принципу суперпозиции электрических полей:

2

(1)

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем инерциальную систему отсчета и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

Значение напряженности полей, создаваемых каждым электрическим зарядом, вычислим по формуле:

для бесконечной заряженной плоскости 

, (3)

где  электрическая постоянная (см. приложение);

для бесконечно длинной заряженной нити –

, (4)

где  кратчайшее расстояние от нити до точки 1;

для точечного электрического заряда –

. (5)

С учетом формул (3)  (5) получим:

(6)

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Величину напряженности в точке 1 найдем по формуле:

(7)

Для вычисления разности потенциалов между точками 1 и 2 электри-ческого поля воспользуемся связью между разностью потенциалов поля и напряженностью этого поля

(8)

и принципом суперпозиции электрических полей (потенциал результирующего электрического поля в точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке отдельными зарядами).

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной плоскостью, можно вычислить по формуле:

(9)

где x₁ и x₂ – кратчайшее расстояние от плоскости до точек 1 и 2;

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной нитью, рассчитывается по уравнению:

(10)

где b_y и a_y – кратчайшее расстояние от нити до точек 1 и 2; b_y = b sinα; a_y = a sinα.

Разность потенциалов в точках 1 и 2, создаваемая точечным зарядом, вычисляется по выражению:

(11)

где r₁ и r₂ – кратчайшее расстояние от точечного заряда до точек 1 и 2; r₁ = c – a =  = 0,4 (м); r₂ = c – b = 0,2 (м).

Результирующая разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2 в соответствии с принципом суперпозиции вычисляется по формуле:

(12)

Из-за громоздкости формулы (12) проведем вычисления слагаемых по отдельности:

Окончательный результат:

Ответ:

Задача 2. Два металлических шарика радиусом 10,0 и 50,0 мм заряжены: первый – до потенциала 600 В, а второй имеет заряд 3,00 нКл. Определить, на сколько изменятся потенциалы шариков после их соединения.

Дано:	СИ	Решение.
R1 = 10 мм	м
R2 = 50 мм	м
φ1 = 600 В
q2 = 3,00 нКл	Кл
∆φ1 – ? ∆φ2 – ?

Потенциал второго шарика до их соединения вычисляют по формуле:

(1)

Так как потенциалы шариков разные, то после их соединения начнется перезарядка, которая будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы шариков не уравняются:

(2)

Используя условие (2) и применяя закон сохранения электрического заряда, запишем:

(3)

Решая систему (3), получим:

(4)

Тогда, учитывая, что , запишем:

(5)

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: потенциал первого шарика уменьшится на 50 В, а второго – возрастет на 10 В.

Задача3. В схеме (рис. 3) ЭДС E₁ = 2,00 В; E₂ = 1,50 В; E₃ = 3,00 В; E ₄ = 4,50 В. Внутренние сопротивления всех источников одинаковы и равны 0,5 Ом. Сопротивления резисторов: R₁ = 1,00 Ом; R₂ = 2,00 Ом; R₃ = 3,00 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Какое количество тепла выделяется в резисторе R₂ за одну минуту?

Дано:	Решение.
E 1 = 2,00 В
E 2 = 1,50 В
E 3 = 3,00 В
E 4 = 4,50 В
r1 = r2 = r3 = r4 = 0,5 Ом
R1 = 1,00 Ом
R2 = 2,00 Ом
R3 = 3,00 Ом
t = 60 с
I1  ? I2  ? I3  ? Q2  ?

Так как электрическая цепь, приведенная на рис. 3, разветвленная, то для решения задачи нельзя использовать закон Ома для замкнутой цепи. Решаем задачу с помощью правил Кирхгофа.

Выбираем узел А, произвольно расставляем направление токов в подходящих к узлу проводах и записываем для него первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи, подходящие к узлу, берем со знаком «плюс», отходящие – со знаком «минус»):

(1)

Выбираем в цепи замкнутый контур – АВСА, указываем произвольно направление обхода контура стрелкой внутри контура и расставляем на источниках ЭДС маленькие стрелки, указывающие направление переноса заряда сторонними силами внутри источников (от «минуса»  к «плюсу»). Записываем для этого контура второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (если направление тока на сопротивлении совпадает с направлением обхода в контуре, то падение напряжения на этом сопротивлении имеет знак «плюс», если не совпадает – знак «минус»; если направление маленькой стрелки у ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то перед ЭДС ставим знак «плюс», если противоположно – знак «минус»):

(2)

Выбираем другой замкнутый контур – ACDA – и аналогично записываем для него второе правило Кирхгофа:

(3)

Для нахождения силы тока в участках цепи необходимо решить систему трех линейных уравнений:

Решаем систему методом Крамера:

Проверка по первому закону Кирхгофа:

Количество тепла, выделяемого при прохождении тока по проводнику R₂, вычислим по закону Джоуля-Ленца:

(4)

Ответ: I₁ = 0,165 A; I₂ = 0,101 A; I₃ = 0,064 A; Q₂ = 1,23 Дж.

Задача4. По контуру в виде равностороннего треугольника со стороной 200 мм течет ток силой 15,0 А. Перпендикулярно плоскости контура проходят два бесконечно длинных прямых изолированных проводника, в которых протекают токи силой в 30,0 А в противоположных направлениях. Проводники проходят через две вершины треугольника. Найти величину и направление индукции магнитного поля в точке пересечения высот треугольника.

Дано:	СИ	Решение.
a = 200 мм	0,2 м
I1 = 15,0 A
I2 = I3 = 30,0 A

r₃

r₂

Магнитное поле создается замкнутым контуром, состоящим из трех проводников конечной длины, и двумя бесконечно длинными проводниками. Определяем с помощью «правила буравчика» направление индукции магнитного поля, создаваемого каждым проводником в центре треугольника (рис. 4) и на основании принципа суперпозиции магнитных полей записываем:

(1)

где ,и  магнитная индукция поля проводников конечной длины замкнутого контура с током I₁;

и  магнитная индукция полей бесконечно длинных проводников с токами I₂ и I₃.

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем удобную инерциальную систему отсчета (см. рис. 4, ось OZ – на нас) и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

Магнитную индукцию поля, создаваемого каждой стороной треугольного контура, вычислим по формуле:

(3)

где  кратчайшее расстояние от проводника с током I₁ до центра треугольника;

  Тогда

(4)

Магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинными проводниками, вычислим по формулам:

(5)

(6)

где r₂ = r₃ – радиус описанной окружности.

С учетом формул (5), (6) получим:

(7)

(8)

(так как I₂ = I₃ ).

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Значение результирующей магнитной индукции поля в центре рассчитаем по формуле:

(8)

Ответ:

Задача 5. В однородном горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный медный проводник с током 20,0 А, расположенный горизонтально перпендикулярно полю. Какова должна быть магнитная индукция поля, чтобы проводник, имеющий поперечное сечение 2,00 мм², находился в равновесии?

Дано:	СИ	Решение.
I = 20,0 A
S = 2,00 мм2
ρ = 8900 кг/м3
В – ?

На проводник с током (рис. 5) действует сила тяжести (со стороны Земли) и сила Ампера (со стороны магнитного поля). Чтобы проводник находился в равновесии, силадолжна быть направлена против и равна ей по величине:

(1)

В проекции на ось ОУ имеем:

(2)

где

ρ  плотность материала проводника (медь);

V = Sl  объем проводника, находящегося в магнитном поле;

α = 90º  угол между направлением магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

С учетом изложенного выше получим:

(3)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: В = 8,7 мТл.

Задача 6. Рамка площадью 60,0 см², имеющая 200 витков, равномерно вращается с частотой 5,00 об/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Сопротивление витков рамки равно 12 Ом. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 30º, и максимальный ток, индуцируемый в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна магнитному полю.

Дано:	СИ	Решение.
N = 200
S = 60,0 см2
ν = 5,00 об/с
B = 0,5 Тл
R = 12,0 Ом
α1 = 30º
Ei  ? Ii max  ?

При вращении рамки в магнитном поле (рис. 6) меняется потокосцепление с рамкой, вследствие чего в рамке согласно явлению электромагнитной индукции индуцируется ЭДС индукции, мгновенное значение которой определяется по основному закону электромагнитной индукции (закону Фарадея-Ленца):

(1)

где N – число витков в рамке.

Магнитный поток через рамку

(2)

При равномерном вращении рамки угол поворота рамки изменяется по закону:

(3)

где  циклическая (круговая) частота вращения, с^-1;

линейная частота вращения, об/с.

С учетом уравнений (2) и (3) получим выражение для ЭДС индукции:

(4)

Проверяем единицу измерения:

Вычисляем мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки α₁ = 30º:

Величину индукционного тока в рамке можно найти, воспользовавшись

законом Ома:

(5)

Максимальное значение I_{i max} будет соответствовать максимальному значению синуса: , тогда

(6)

Производим вычисления:

Ответ: E_i = 9,42 В; I_{i max} = 1,57 А.

Задача 7. В идеальном колебательном контуре индуктивность катушки равна 100 мГн, а амплитуда колебаний силы тока в цепи – 20 А. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент времени, когда мгновенное значение силы тока в два раза меньше амплитудного значения.

Дано:	СИ	Решение. Полная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического и магнитного полей: (1)
L = 100 мГн	0,1 Гн
I0 = 20 мА	0,2 A
i = I0/2
We – ? Wm – ?

В идеальном колебательном контуре отсутствует диссипация энергии, поэтому полную энергию можно вычислить через максимальные значения энергии электрического или магнитного поля:

(2)

Энергия магнитного поля для момента времени, когда i = I₀/2,

(3)

Тогда энергия электрического поля конденсатора

(4)

Производим вычисления:

Ответ: W_e = 15 мкДж; W_m = 5 мкДж.

З а д а ч а 8. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника длиной 800 мм уменьшилась в два раза за 3 мин. Чему равна добротность этого осциллятора?

Дано:	СИ	Решение. Добротностью осциллятора называется увеличенное в 2π раз отношение энергии, первоначально запасенной осциллятором, к потерям энергии за один период: . (1)
l = 800 мм	0,8 м
t1 = 3 мин	180 с
A0/A = 2
t2 = T
Q – ?

При затухающих колебаниях амплитуда и энергия убывают по законам:

(2)

(3)

где β – коэффициент затухания осциллятора, который можно найти из соотно-шения:

(4)

Тогда потеря энергии осциллятором за один период:

(5)

Период затухающих колебаний математического маятника

(6)

а так как <<, то это случай слабозатухающих колебаний.

Тогда окончательно имеем:

(7)

Производим вычисления:

Ответ: Q = 458.