2.2. Расчет погрешности при прямых измерениях

Пусть требуется измерить некоторую величину х.

Проделав измерения многократно, получим ряд из n приближенных значений: х₁, х ₂, …, х_n.

За наиболее достоверный результат измерения принимают среднее арифметическое значение:

. (2)

При достаточно большом n (теоретически бесконечном) значение совпадает с истинным значением измеряемой величины.

Разности между средним значением измеряемой величины и значениямих₁, х₂, …, х_n, полученными при отдельных измерениях, т. е.

х₁ =  х₁;



…

х₂ =  х₂; (3)

х_n =  х_n,

называются абсолютными погрешностями отдельных измерений и могут быть положительными и отрицательными.

Учесть случайные факторы в процессе измерений можно, рассчитав случайную погрешность путем усреднения абсолютных погрешностей отдельных измерений:

х_сл (4)

Очевидно, что случайная погрешность зависит от количества измерений n и уменьшается с увеличением числа измерений.

Сумма случайной и инструментальной погрешностей представляет собой абсолютную погрешность измеряемой величины:

х = х_сл + х_ин. (5)

Однако определение одной абсолютной погрешности еще недостаточно для оценки степени точности измерений, так как последняя зависит не только от абсолютной погрешности, но и от значения самой измеряемой величины. Оценить точность измерения можно лишь с помощью относительной погрешности.

Относительная погрешность показывает, какую долю сос­тавляет абсолютная погрешность от истинного значения измеряемой величины:

100 %. (6)

С учетом правил округления (прил. 2) окончательный результат измерений представляется в виде:

х = ( х) ед. изм. с _х = … %. (7)

Выполняя лабораторную работу, следует оценивать точность проводимого эксперимента исходя из значений полученных относительных погрешностей. Инженерный расчет (во многих случаях) допускает относительную погрешность до 10 %. Чем выше требования к надежности проектируемого устройства или к достоверности измерений, тем меньше должно быть значение относительной погрешности.

2.3. Использование микрокалькулятора при расчете погрешности

Во всех современных инженерных и научных (scientific) микрокалькуляторах (МК) имеются встроенные в память калькулятора программы для расчета погрешности статистического набора чисел (что является дополнительным доказательством важности этого вопроса в работе инженера). Порядок работы в режиме статистических расчетов в микрокалькуляторах может быть разным, поэтому ниже рассмотрим лишь одинаковые для большинства МК действия.

Непосредственно после ввода данных в память калькулятора на экран можно вывести среднее (наиболее вероятное) значение измеренной величины (обычно обозначается или) и стандартное отклонение отдельного измерения (илиs). При этом среднее значение рассчитывается по обычной формуле (2), а для вычисления стандартного отклонения отдельного измерения применяется формула:

. (8)

Стандартное отклонение отдельного измерения связано со случайной погрешностью простым соотношением:

(9)

где – коэффициент Стьюдента, зависящий от коэффициента доверительной вероятности (показывает, какая часть измеренных данных в среднем должна оказаться внутри интервала ) и числа измеренийn. Для , равного 0,95 (это значит, что 95 чисел из 100 в среднем должны оказаться внутри названного выше интервала), значения коэффициента Стьюдента в зависимости от числа измерений n приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения коэффициента Стьюдента

n	2	3	4	5	6	…	10	…	
t0,95; n	12,7	4,3	3,18	2,8	2,6	…	2,28	…	2,0

Анализ данных табл. 1 показывает, во-первых, что отсутствует число n, равное единице. Действительно, при однократном измерении ни о какой оценке погрешности не может быть и речи. Во-вторых, если проводятся пять – семь измерений, то отношение запишется в виде:

, (10)

поэтому в таких случаях вообще можно считать, что .

В качестве примера рассмотрим процедуру расчета погрешности прямых измерений на микрокалькуляторе CITIZEN SRP-265.

Пусть в результате прямых измерений получены значения высоты цилинд­ра (в см): 2,3; 2,5; 2,6; инструментальная погрешность составляет 0,1 см.

Таблица 2

Расчет погрешности прямых измерений на микрокалькуляторе CITIZEN SRP-265

Клавиши	Действие	Дисплей	Комментарий
1	2	3	4
2ndF ON/C	STAT	STAT 0.	Включение режима статистических расчетов
2 . 3 M+	DATA	STAT 1.	На дисплее показано количество введенных в память чисел
2 . 5 M+	DATA	STAT 2.
2 . 6 M+	DATA	STAT 3.
X→M		STAT 2.466666667	Среднее значение введенных чисел
MR	s	STAT 0.152752523	Стандартное отклонение отдельного измерения

Окончание табл.2

1	2	3	4
× 4 . 3 ÷ 3 =		STAT 0.379224355	Случайная погрешность, вычисленная по формуле (9)
+ 0 . 2 =		STAT 0.479224355	Абсолютная погрешность
÷ X→M × 100 =		STAT 19.42801438	Относительная погрешность, выраженная в процентах
2ndF ON/C		0.	Выход из режима статистичес­ких расчетов, очистка памяти

Применив правила округления (см. прил. 2) к полученным на микрокалькуляторе значениям, запишем результат измерения высоты цилиндра:

h = (2,47  0,48) см с _h = 19 %

В заключение заметим, что формулы (8), (9) для вычисления x_сл являются более общими по сравнению с упрощенными формулами подразд. 2.2.