1.3. Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами точек на плоскости

Внекоторых случаях удобно работать не с известными декартовыми прямоугольными координатами точек, а с их полярными координатами и наоборот.

Установим связь между ними.

Рассмотрим на плоскости ДПСК Оху и ПСК, у которой полюс совпадает с началом координат – точкой О, а полярная ось совпадает с осью абсциссОх.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим (х; у) ее прямоугольные декартовы координаты, а полярные – .

Из соотношений в прямоугольном треугольнике ОРМ (рис. 5) имеем:

(1)

Учитывая, что , из соотношений (1) имеем:

(2)

Так как , заметим, что знакдолжен быть одинаковым со знакому, а знак – со знакомх.

Для вычисления угла можно воспользоваться следующими формулами:

(3)

Формула (1) выражает прямоугольные декартовы координаты точки через полярные (т. е. по известным полярным координатам можно найти декартовы).

Формулы (2) и (3) позволяют определять полярные координаты точки по ее декартовым координатам.

2. Некоторые линии в полярной системе координат и

ИХ ПОСТРОЕНИЕ

О п р е д е л е н и е 8. Линией, определяемой уравнением называется геометрическое место точек, полярные координаты которых удов-летворяют уравнению:

2.1. Окружность

О п р е д е л е н и е 9. Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей на той же плоскости, что и кривая.

Уравнения окружностей в ПСК получены путем применения формул (1) перехода от декартовой системы координат к полярной. Например, составим уравнение окружности в полярных координатах. Применим формулы (1):Случаи расположения окружности в ПСК приведены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1

Расположение окружности в ПСК

Уравнение в ДПСК	Уравнение в ПСК	Рисунок в ПСК
Окружность с цент-ром в начале координат радиусом R
Окружность со смещенным вдоль оси Ох центром
Окружность со смещенным вдоль оси Оу центром

2.2. Спираль Архимеда

Спираль (от франц. spirale, латинского spira – виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.

О п р е д е л е н и е 10. Спираль Архимеда – плоская кривая, определяемая в ПСК уравнением

Кривая состоит из двух ветвей, соот-ветствующих положительным и отрицательным значениям(рис. 6).

Кривая названа в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (III в. до н. э.). Полному обороту точки соответствует одно и то же смещение называемое шагом архимедовой спирали.

2.3. Розы

О п р е д е л е н и е 11. Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: , гдеи– постоянные(рис. 7).

Рис. 7

Вся кривая расположена внутри круга радиусом состоит из конгруэнтных лепестков. Если: а) k – целое число, роза состоит из k лепестков (в случае, когда условие (подразд. 1.2, замечание 5) не учитывается, при четном k количество лепестков удваивается); б) k = m/n, n > 1, – рациональное число, роза состоит из m лепестков, когда m и n – нечетные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий); в) k – иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Случаи расположения розы в ПСК приведены в табл. 2.

Т а б л и ц а 2

Расположение розы в ПСК при k = 3

Уравнение в ПСК
Рисунок в ПСК
Уравнение в ПСК
Рисунок в ПСК