4. Найти решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.

,

Решение: Перепишем системы в механических обозначениях:

Составим матрицу системы и запишем её в матричной форме:, где.

Найдем вспомогательное уравнение второго порядка для переменной x: ,.

Получаем вспомогательное уравнение: , или. Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение: , .

Запишем общее решение:

Выразив из 1-го уравнения y и подставив в него x(t), получим решение y(t)

Найдем из начальных условий C₁ и C₂.

,

Ответ:

5. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений.

Перепишем систему в механических обозначениях:

Решим систему методом исключения, для чего продифференцируем второе уравнение системы (как более простое). (1) и выразим из него жеx: (2)

Подставим в (1)

Подставим вместо x выражение (2):

Раскроем скобки и перенесем:

Решаем полученное линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Характеристическое уравнение

, ,,

Найдем в виде:

Ответ: