Примеры

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

1)

; т.к. , т.е. интеграл сходится.

2) . Поскольку, подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Сделаем замену(см. п. 1.6), получим:, посколькунечетная функция, а.

3) . Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Удобна замена, являющаяся непрерывной и монотонной в области интегрирования:

, поскольку , интеграл расходится.

2.8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II рода)

Если функция непрерывна при и, то по определению. (36)

Если функция непрерывна при и, то. (37)

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке промежутка, то по определению полагают:(38)

Порядок вычисления несобственного интеграла от неограниченных функций аналогичен порядку вычисления несобственного интеграла с бесконечными пределами. Определения сходящегося и расходящегося интегралов аналогичны соответствующим для несобственных интегралов с бесконечными пределами. Интеграл (38) сходится, если существуют и конечны оба предела.

Как и в п. 2.8.1. можно записать аналог формулы Ньютона-Лейбница:

, (39)

если непрерывна на, а подпонимается.

Аналогично

, (40) если непрерывна на, а.

, где - точка бесконечного разрыва подынтегральной функции,первообразные функциина участкахи, на которыхнепрерывна. Интеграл в последнем случаесходится, если существуют и конечны оба предела и. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то интегралрасходится.

Интегрирование по частям и способ подстановки см. в п. 2.8.1.

Примеры

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке , поэтому, поскольку, интеграл расходится.

. Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точке . Сделаем замену, монотонную в области интегрирования:, т.е. интеграл сходится.

3) ; интеграл сходится.

4) . Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования всюду, кроме точки. В качестве первообразной на обоих промежуткахиможно взять функцию, поэтомут.е. интеграл сходится.

2.9. Вычисление площади плоской фигуры

Задача вычисления площади плоской фигуры, которая привела нас к понятию определенного интеграла, была рассмотрена в п. 1.1. В данном подразделе рассмотрим задачу вычисления площади плоской фигуры в более общей ситуации и для различных способов задания кривой.

2.9.1. Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций

Пусть и- две непрерывные функции и- две прямые (рис. 3). Площадь фигуры, ограниченной данными линиями вычисляется по формуле:

. (41)

Порядок вычисления:

1. построить чертеж;

2. найти пределы интегрирования;

3. применить формулу (41).

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой: .

Решение. Построим чертеж данной фигуры (рис. 4). Найдем пределы интегрирования, решив систему уравнений: отсюда, значит, пределы интегрирования. Применяем формулу

(кв. ед.).