3. Расчет однофазной цепи переменного тока

3.1. Задание для самостоятельной работы

Для цепи синусоидального тока заданы параметры (табл. 8) включенных в нее элементов (рис. 10) и действующее значение напряжения на ее зажимах; частота питающего напряжения f = 50 Гц. Необходимо:

1) определить действующие значения тока в ветвях и неразветвленной части цепи символическим методом;

2) по полученным комплексным изображениям записать выражения для мгновенных значений тока в ветвях и напряжения на участке цепи с параллельным соединением;

3) построить упрощенную векторную диаграмму;

4) составить баланс мощности;

5) определить характер (индуктивность или емкость) и параметры элемента, который нужно добавить в неразветвленную часть схемы, чтобы в цепи имел место резонанс напряжений;

6) выполнить моделирование режима работы цепи при заданных параметрах и в режиме резонанса напряжений с помощью системы схемотехнического моделирования Electronics Workbench.

3.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета

3.2.1. Рассмотрим порядок расчета однофазной цепи переменного тока на примере анализа схемы, представленной на рис. 11, а. Числовые значения параметров указаны в табл. 9.

Расчет однофазной цепи с одним источником выполняют методом эквивалентных преобразований («сворачиванием» – «разворачиванием») схемы, который рассмотрен в разд. 1.

Перед выполнением расчетов необходимо значения всех параметров привести к международной системе единиц СИ (1 мГн = 10-3 Гн; 1 мкФ = 10-6 Ф). Расчет ведется символическим методом с помощью аппарата комплексных чисел.

1 2

3 4 5

6 7

EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8

8 9 0

Рис. 10

Таблица 8

Числовые значения параметров элементов схемы

Вариант	Напряжение, В	Параметры элементов цепи
		R1, Ом	L1, мГн	С1, мкФ	R2, Ом	L2, мГн	С2, мкФ	R3, Ом	L3, мГн	С3, мкФ
0	220	9	15	800	9	17	1000	5	14	800
1	127	6	20	200	8	18	800	6	10	700
2	380	8	25	400	7	20	600	7	8	450
3	380	5	16	600	6	48	400	8	13	600
4	127	7	10	500	5	13	500	9	11	500
5	220	4	14	1000	12	31	700	10	9	400
6	220	3	18	700	6	20	900	7	21	300
7	127	6	12	300	7	16	450	8	18	200
8	380	5	26	650	6	18	650	6	15	900
9	127	8	24	480	8	26	800	4	12	600

Таблица 9

Числовые значения параметров элементов схемы для примера расчета

Вариант	Напряжение, В	Параметры элементов цепи
		R1, Ом	R2, Ом	L2, мГн	С2, мкФ	С3, мкФ
–	127	5	10	20	200	300

Для расчета полных комплексных сопротивлений ветвей определим реактивные составляющие сопротивлений (рис. 11, б), которые создают реактивные элементы, находящиеся в ветвях. Реактивное сопротивление индуктивного элемента , емкостного –, общее сопротивление ветви, содержащей индуктивный и емкостный элементы, –, гдерад; f = 50 Гц – частота питающего напряжения.

Первая ветвь цепи не содержит реактивного элемента, поэтому реактивная составляющая сопротивления ветви будет равна нулю: Ом.

Вторая ветвь содержит два реактивных элемента. Общее реактивное сопротивление ветви равно алгебраической сумме индуктивного и емкостного сопротивлений. Знак «плюс» ставится у индуктивного сопротивления, «минус» – у емкостного:

;	(55)	Ом;
;	(56)	Ом;
;	(57)	Ом.

Знак «минус» перед общим реактивным сопротивлением ветви указывает на его емкостный характер. Этот знак сохраняется и при записи полного комплексного сопротивления (см. ниже).

а б

в г д

Рис. 11

Реактивное сопротивление третьей ветви

;

(58)

Ом.

Полные комплексные сопротивления ветвей в алгебраической, показательной и тригонометрической форме (см. рис. 11) имеют вид:

, (59)

где R – действительная составляющая комплексного сопротивления;

Х – мнимая составляющая комплексного сопротивления;

–модуль комплексного сопротивления;

–аргумент комплексного сопротивления, знак аргумента зависит от знака реактивного сопротивления ветви.

Для ветвей рассматриваемой электрической цепи

; (60)

Ом;

; (61)

Ом;

; (62)

Ом.

Эквивалентная схема с учетом выполненных расчетов представлена на рис. 11, в.

Последующие операции «сворачивания» электрической схемы основаны на рассмотренных в первом разделе свойствах параллельного и последовательного соединений. Нужно помнить, что сложение и вычитание комплексных чисел выполняется в алгебраической форме записи, а умножение и сложение – в показательной, если расчеты ведутся на калькуляторе.

Заменим параллельный участок на эквивалентное сопротивление (рис. 11, г):

; (63)

Последовательное соединение двух сопротивлений преобразуем в простейшую цепь (рис. 11, д):

; (64)

Ом.

Полученная элементарная цепь рассчитывается по закону Ома для цепей переменного тока:

;

(65)

А.

Напряжение на параллельном участке

;

(66)

В.

Токи в параллельных ветвях рассчитываются по выражениям:

;	(67)	А;
;	(68)	А.

Для построения векторной диаграммы необходимо также определить напряжение на неразветвленной части цепи:

;

(69)

В.

Расчет однофазной цепи с помощью математического редактора Mathсad представлен в прил. 3. Нужно заметить, что в Mathсad операции с комплексными числами выполняют в алгебраической форме записи. Для определения модулей и аргументов комплексных чисел нужно выполнить дополнительные команды. Углы в Mathсad вычисляются в радианах. Для перехода в градусную меру измерения углов необходимо дополнительно указать оператор: «deg» (см. прил. 3).

Результаты расчетов занесите в графу «Расчет» табл. 10.

Таблица 10

Полученные значения токов и напряжений для рассматриваемой цепи

Параметр	Действующие значения для исходной схемы		Моделирование резонанса
	расчет	моделирование
I1, А	13,44	13,46	17,57
I2, А	6,32	6,352	8,290
I3, А	8,26	8,300	10,83
U23, В	87,62	86,96	113,5
φ, градус	40,41	40,05	0

3.2.2. Мгновенные значения тока в ветвях и напряжения можно записать с учетом того, что амплитудное значение тока в раз больше действующего значения, которое равно модулю полученного комплексного числа:

;	(70)	;
;	(71)	;
;	(72)	;
;	(73)	;
;	(74)	.

3

Рис. 12

.2.3. Для проверки правильности расчетов строят векторную диаграмму токов и напряжений электрической цепи. Необходимо выбрать масштаб по току, А/мм, и по напряжению, В/мм, построить систему ортогональных осей комплексной плоскости (+1, +j). Векторы тока и напряжения строят из начала координат так, чтобы длина вектора была равна модулю комплексного числа (действующему значению) с учетом масштаба, а угол наклона к действительной оси (+1) – аргументу комплексного числа (начальной фазе), причем положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные – по часовой. Векторная диаграмма для рассматриваемого примера приведена на рис. 12.

Если на векторной диаграмме сумма векторов токов параллельных ветвей равна вектору тока в неразветвленной части цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа для узловой точки, а сумма векторов напряжения – напряжению источника, то считается, что диаграмма сходится, и это обязательное, но не достаточное условие для вывода о правильности расчетов.

3.2.4. Окончательно о правильности полученных результатов можно судить по балансу мощности, который для цепей переменного тока может быть составлен для комплексов полной мощности источника и потребителей:

, (75)

или для активной и реактивной мощностей как составляющих. Выполним проверку по балансу активной и реактивной мощностей:

; ,

(76)

где ,– угол сдвига фаз между приложенным напряжением и током в неразветвленной части цепи, он зависит от нагрузки цепи и равен аргументу полного комплексного сопротивления;

;

, где – действующие значения токов, т. е. модули комплексных чисел, изображающих соответствующие токи;

, реактивное сопротивление берется с учетом знака.

Активная мощность всегда положительна, реактивная может быть и отрицательной. Знак «минус» указывает на то, что реактивная мощность отдается цепью в сеть, а не потребляется из сети.

Для рассматриваемого примера:

Вт;

Вт;

вар;

В результате баланс активной мощности:

1297 Вт = 1297 Вт,

а реактивной:

– 1105 вар = – 1105 вар.

Баланс активной и реактивной мощности выполняется, следовательно, расчет однофазной цепи выполнен верно.

3.2.5. Резонанс напряжений в цепи наступает тогда, когда реактивное сопротивление цепи равно нулю. Если реактивное сопротивление цепи носит индуктивный характер (), то необходимо в неразветвленную часть цепи добавить емкостное сопротивление, значение которого равно индуктивной составляющей сопротивления:

(77)

. (78)

Если реактивное сопротивление цепи носит емкостный характер (), то необходимо в неразветвленную часть цепи добавить индуктивное сопротивление:

(79)

. (80)

В рассматриваемом примере ; реактивная составляющая сопротивления – емкостная. Рассчитаем индуктивное сопротивление, которое обеспечит в цепи резонанс напряжений:

Ом;