1.3. Методические указания к выполнению моделирования

Моделирование режима работы электрической цепи с помощью системы схемотехнического моделирования Electronics Workbench рекомендуется провести в следующем порядке.

1.3.1. Соберите заданную схему и задайте значения параметров элементов. Правила выполнения этих операций приведены в разд. 6 настоящих методических указаний. Рационально сначала расположить элементы электрической цепи так, как они изображены на схеме рис. 3, а потом произвести соединения проводниками. При необходимости изображения сопротивлений могут быть повернуты в вертикальное положение. Соединительные провода должны быть достаточной длины, чтобы это позволило в дальнейшем встроить в схему измерительные приборы.

1.3.2. Измерьте входное сопротивление цепи мультиметром и сравните полученное значение с рассчитанным значением эквивалентного сопротивления.

Рис. 3

1.3.3. Введите в схему источник постоянной ЭДС, установите значение ЭДС в соответствии с заданием.

Рис. 4

1.3.4. Введите измерительные приборы – индикаторы (амперметры и вольтметры). Для этого достаточно совместить соединительные выводы изображения прибора с соединительными проводами. Изменение цвета выводов прибора указывает на то, что он «встроен» в электрическую цепь без разрыва соединений, сделанных ранее (рис. 4).

1.3.5. Запустите процесс моделирования нажатием переключателя «0/I» в положение «I». Значения измеряемых токов отразятся на приборах-индикаторах. После этого можно остановить процесс моделирования, чтобы ЭВМ не выполняла ненужных вычислений. Запишите значения тока I₁ – I₆ и напряжения на параллельных участках в табл. 5.

1.3.6. На основании полученных данных сделайте вывод о соответствии результатов моделирования и аналитического расчета режима работы схемы.

2. Расчет сложной цепи постоянного тока

2.1. Задание для самостоятельной работы

Для сложной цепи постоянного тока (рис. 5), числовые значения параметров которой заданы в табл. 5, необходимо следующее:

1) рассчитать значения тока во всех ветвях

при помощи непосредственного применения законов Кирхгофа;

методом контурных токов;

2) проверить правильность расчета, составив баланс мощности, и сделать вывод по его результатам;

3) определить значения тока в ветвях, содержащих ЭДС, по методу межузлового напряжения, предварительно преобразовав исходную схему в схему с двумя узлами, заменив пассивный «треугольник» сопротивлений эквивалентной «звездой»;

4) выполнить моделирование заданной электрической цепи с помощью системы схемотехнического моделирования Electronics Workbench. Сравнить полученные результаты с расчетными.

Таблица 5

Числовые значения параметров элементов схемы

Вариант	ЭДС, В			Сопротивление, Ом
	Е1	Е2	Е3	R1	R2	R3	R4	R5	R6
0	22	24	10	2	1	8	4	10	6
1	55	18	4	8	4	3	2	4	4
2	36	10	25	4	8	3	1	2	7
3	16	5	32	9	3	2	4	1	5
4	14	25	28	5	2	8	2	2	6
5	20	22	9	1	2	6	3	8	4
6	5	16	30	6	4	3	2	5	3
7	10	6	24	3	5	6	6	3	1
8	6	20	4	4	6	4	4	3	3
9	21	4	10	5	7	2	8	1	1

2.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета

При анализе режима работы сложной электрической цепи неизвестными являются значения тока в ветвях, для их определения необходимо составить систему алгебраических уравнений и решить ее. Система должна содержать столько уравнений, сколько имеется неизвестных значений тока, т. е. ветвей в электрической цепи. Рассмотрим применение названных в задании методов расчета на примере схемы, приведенной на рис. 6, значения параметров которой даны в табл. 6.

Таблица 6

Параметры элементов схемы, приведенной в примере

Вариант	ЭДС, В			Сопротивление, Ом
	Е1	Е2	Е3	R1	R2	R3	R4	R5	R6
-	5	16	30	6	4	3	2	5	3

2.2.1. Расчет схемы по законам Кирхгофа подразумевает составление системы уравнений, позволяющих определить значения тока в ветвях непосредственно по первому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма значений тока в узле электрической цепи равна нулю:

(21)

т. е. уравнения по первому закону Кирхгофа составляются относительно узла.

Знак тока зависит от его направления относительно узла. Можно принять, что токи, направленные к узлу, будут записываться со знаком «плюс», а направленные от узла – со знаком «минус», либо наоборот.

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров электрической цепи. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма падения напряжения на приемниках электрической энергии в контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

. (22)

1		2	3
4	5			6
7		8			9
		0
		Рис. 5

Если направление напряжения (тока) и ЭДС совпадают с направлением обхода контура, перед слагаемым в сумме ставится знак «плюс», в противном случае – «минус».

Для выполнения задания можно рекомендовать следующий порядок решения.

1) Для исходной цепи произвольно выбираем направления токовв ветвях и указываем их на схеме (рис. 6).

2) Количество неизвестных токов определяет порядок сложности цепи N и равно количеству ветвей. В рассматриваемом примере количестве ветвей в = N = 6. Следовательно, необходимо составить систему из шести уравнений.

3) По первому закону Кирхгофа составляется количество уравнений на одно меньше, чем количество узлов. Для схемы, представленной на рис. 6, количество узлов у = 4. По первому закону Кирхгофа составляем N_I = у –1 = = 3 уравнений.

4) Выбираем любые три узла, например, 1, 2, 3, для которых записываем уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла 1: ; (23)

2: ; (24)

3: . (25)

5) По второму закону Кирхгофа составляется NII = N – NI уравнений. В нашем примере NII = в – (у – 1) = 6 – 3 = 3 уравнения.

6) Выбираем три независимых контура I – III (см. рис. 6) так, чтобы каждый последующий контур содержал хотя бы одну новую ветвь.

7) Принимаем направления обхода контуров I , II – по часовой стрелке, III – против нее.

8) Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для контура I: ; (26)

II: ; (27)

III:. (28)

9) Полная система уравнений будет иметь вид:

;

;

; (29)

;

.

10) Решение системы уравнений (29) с помощью математического редактора Mathсad, листинг которой представлен в прил. 2, дает искомые значения тока в ветвях цепи. Знак «минус» указывает на то, что выбранное на схеме направление тока не совпадает с его реальным направлением.

Результаты сведите в табл. 7.

Таблица 7

Значения токов, полученные различными методами

Метод получения результата	Ток, А
	I1	I2	I3	I4	I5	I6
Расчет по законам Кирхгофа	3,038	-0,356	-3,394	1,196	0,840	-2,198
Расчет методом контурных токов	3,038	-0,356	-3,394	1,196	0,840	-2,198
Расчет методом межузлового напряжения	3,038	-0,356	-3,394	–	–	–
Моделирование	3,037	0,3561	3,393	1,196	0,839	2,197

11) Для проверки правильности расчета составляем баланс мощности:

. (30)

Для рассматриваемой цепи мощность источников (m = 3)

, (31)

где мощность источника записывается в балансе со знаком «минус», потому что направление токаи ЭДСне совпадают, источник работает в режиме потребителя.

Вт.

Мощность приемников (n = 6)

(32)

Баланс мощности:

111,304 Вт = 111,304 Вт.

Баланс выполняется, следовательно, расчет токов по законам Кирхгофа выполнен верно.

2.2.2. Метод контурных токов позволяет сократить количество составляемых уравнений и упростить расчеты.

В соответствии с этим методом считается, что в замкнутых контурах протекают так называемые контурные токи J₁, …, J_n. При этом расчетные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Количество необходимых в этом случае уравнений N_II = в – (у – 1).

Выбор независимых контуров осуществляется так же, как было описано выше. При формировании алгебраической суммы падений напряжения от «протекания» контурных токов учитывают не только падение напряжения на собственных сопротивлениях контура, но и падения напряжения, создаваемые током смежных контуров, протекающим по взаимным сопротивлениям, входящим и в соседние контуры. Ток соседнего контура создает падение напряжения со знаком «плюс», если его направление во взаимном сопротивлении совпадает с направлением рассматриваемого контурного тока, и со знаком «минус» – если не совпадает.

ЭДС в алгебраической сумме принимается со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус» – в противном случае.

После определения контурных токов реальные токи ветвей выражают через контурные токи.

Для проверки правильности расчетов составляется баланс мощности.

Для рассматриваемого примера N_II = в – (у – 1) = 3. Выбираем те же контуры, которые использованы в предыдущем методе, обозначаем направления контурных токов и составляем расчетные уравнения:

I: ; (33)

II: ; (34)

III: . (35)

Или в упорядоченном виде по возрастанию индексов контурных токов:

;

; (36)

.

В матричной форме:

			∙		=		(37)

Полученная матрица должна быть симметричной. Так можно проверить правильность составления системы уравнений.

Решение системы уравнений (37) с помощью математического редактора Mathсad (см. прил. 2) дает искомые значения контурных токов:

А; А;А.

Решение системы уравнений может быть получено и другими методами, например, методом определителей без применения ЭВМ.

Реальные токи в ветвях цепи находим с учетом направлений протекающих по ветвям контурных токов:

;	(38)	А;
;	(39)	А;
;	(40)	А;
;	(41)	А;
;	(42)	А;
;	(43)	А.

Результаты расчета, полученные методом контурных токов (см. табл. 7), совпадают с результатами расчета по законам Кирхгофа.

2.2.3. Метод межузлового напряжения является частным случаем метода узловых потенциалов и применяется для расчета электрических цепей с двумя узлами. В этом случае неизвестными считаются потенциалы узлов.

Чтобы воспользоваться этим методом, преобразуем исходную схему в схему с двумя узлами. Для этого выполним эквивалентное преобразование пассивного «треугольника» сопротивлений R₄, R₅, R₆ в эквивалентную «звезду» r₂, r₃, r₄ (рис. 7, 8):

;	(44)	Ом;
;	(45)	Ом;
;	(46)	Ом.

Индексы сопротивлений полученной «звезды» выбраны по номерам бывших узловых точек, к которым они присоединены в новой схеме. При этом сами точки 2, 3, 4 перестали быть узловыми (см. рис. 8). В схеме, полученной после преобразования, имеется только два узла: старый (1) и новый (1').

Определяем проводимости оставшихся трех ветвей (индекс указывает на ту ветвь, в которой стоит одноименная ЭДС):

;	(47)	См;
;	(48)	См;
;	(49)	См.

Произвольно выбираем положительное направление напряжения между узлами 1 и 1' (см. рис. 8) и записываем в соответствии с формализованным правилом расчетное выражение для определения межузлового напряжения. Оно равно алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей:

. (50)

Знак «плюс» перед слагаемым в числителе ставят, если направления ЭДС и напряжения относительно узлов не совпадают, «минус» – в противном случае. Заметьте, что это правило выбора знака отличается от уже применяемых ранее.

В.

Значения токов в ветвях определяют по второму закону Кирхгофа или используют еще одно формализованное правило: ток в ветви равен алгебраической сумме действующей в ветви ЭДС и межузлового напряжения, умноженной на проводимость этой ветви:

. (51)

Знак «плюс» перед ЭДС и напряжением ставится, если ток и ЭДС, ток и напряжение направлены в одну сторону, в противном случае – знак «минус».

Для рассчитываемой схемы

;	(52)	А;
;	(53)	А;
;	(54)	А.

Полученные значения тока совпадают с рассчитанными ранее рассмотренными методами, следовательно, расчеты по методу межузлового напряжения выполнены верно.

Листинг расчета рассматриваемой цепи методом межузлового напряжения с помощью математического редактора Mathсad приведен в прил. 2.

2.3. Методические указания к выполнению моделирования

Моделирование режима работы электрической цепи рекомендуется провести в следующем порядке.

2.3.1. Соберите заданную схему и задайте значения параметров элементов. Правила выполнения этих операций приведены в разд. 6. Рационально сначала расположить элементы электрической цепи так, как они показаны на схеме рис. 6, а потом произвести соединения проводниками. При необходимости сопротивления могут быть ориентированы вертикально (рис. 9). Нужно иметь в виду, что в системе схемотехнического моделирования Electronics Workbench невозможно представление диагональных соединений.

Рис. 9

2.3.2. Введите измерительные приборы – индикаторы (амперметры).

2.3.3. Запустите процесс моделирования нажатием переключателя в положение «I». Значения измеряемых токов отразятся на приборах-индикаторах. После этого можно остановить процесс моделирования, чтобы ЭВМ не выполняла ненужных вычислений. Занесите значения тока I1 – I6 в табл. 7.

2.3.4. На основании полученных данных сделайте вывод о соответствии результатов моделирования и аналитического расчета режима работы схемы.

2.3.4. На основании полученных данных сделайте вывод о соответствии результатов моделирования и аналитического расчета режима работы схемы.