3336_EI
.pdfА |
IA |
Zла |
а |
|
|
а′ |
|
А |
Zла |
IA |
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ia |
|
Iaa′ |
|
|
|
|
|
EA |
|
|
|
Zна Ua0′ |
Zна′ |
EA |
Ua0′ |
Zнэ |
|||
0 |
|
|
0′ |
|
|
0′′ |
|
0 |
б) |
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
Находим ток в линии А: |
IA = |
EA |
. |
|
|
|
|
||||
Zла + Zнэ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Падение напряжения на сопротивлении Zнэ в схеме (рис. 1.9, б) является фазным напряжением в ветвях Ua0′ = Ua′0′′ (рис. 1.9, а), которое легко определить:
Ua0′ = Ua0′′ = Z нэ I A .
Токи, протекающие в этих ветвях, обратно пропорциональны сопротивлениям ветвей, следовательно:
I а = UZ
а0′ и I aa′ = I A − I a .
на
Переходим к исходной схеме, в которой напряжения находятся по известным соотношениям между линейными и фазными напряжениями для симметричной нагрузки при соединении в «звезду»:
|
|
U a′b′ = |
U |
ab = |
U |
a0 − |
U |
b0 = U a0 3e j30o ; |
|
|
U b0 = |
U |
a0 3e− j120o . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений |
||||||||||||||
Uab |
a |
|
|
представлена на рис. 1.10. Токи в треугольнике: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ua0′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|||
|
30° |
|
|
|
|
|
|
|
I |
а′b′ |
= |
|
а′b′ |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Uab |
|
|
|
|
|
|
Zна′b′ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Uc0′ |
0′ |
Ub0′ b |
|
|
|
|
|
|
I |
b′c′ |
= |
I |
а′b′e− j120o ; |
|||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
c′a′ |
= |
|
I |
а′b′e |
j120o |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 1.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численный пример расчета трехфазной цепи в симметричном режиме приведен
ниже.
Рассмотрим алгоритм расчета цепи «звезда−звезда» с нулевым проводом (Y/Y0). Поскольку цепь (рис. 1.11) имеет только два узла, то удобно воспользоваться методом узловых потенциалов, для этого примем ϕ0 = 0.
11
|
А |
IА |
ZAл |
|
а |
|
|
|
Iл |
|
|
Iф |
|
UA0 |
|
EA |
|
Ua0′ |
Zна |
|
EC |
0 |
Z0 |
I0 |
|
0′ |
|
|
|
|
||||
|
|
EB |
|
Zнc |
Zнb |
|
C |
|
B |
с |
Uc0′ |
Ub0′ |
b |
|
|
IB |
|
ZBл |
|
|
IC |
|
ZCл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.11
Потенциал точки ϕ0′ или так называемое напряжение смещение нейтрали U0′0 можно определить по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
ϕ0′ (Y A + Y B + Y C + Y0 ) = J A + J B + J C , |
|||||
где Y = |
1 |
; Y = |
1 |
; Y = |
1 |
; Y = |
1 |
− проводимости линий, |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
ZAл + Zнa |
|
|
В |
ZВл + Zнb |
C |
ZСл + Zнс |
0 |
Z0 |
|
|
|
|
здесь ZАл, ZВл, ZСл – комплексные сопротивления линейных проводов; Zна, Zнb, Zнс – комплексные фазные сопротивления приемников;
JА = ЕАYА; JВ = ЕВYВ; JС = ЕСYС – узловые токи. Получаем:
U0′0 = EAYA + EBYB + ECYC .
YA + YB + YC + Y0
Токи в обмотках можно найти из уравнений, составленных для контуров по II закону Кирхгофа. Например,
ЕА = ZАIА + U0′0.
Отсюда
IА = ЕA − U0′0 = (EA − U0′0 )YA . ZА
Аналогично находим в оставшихся линиях:
IB = (EB − U0′0 )YB ; IC = (EC − U0′0 )YC ; I0 = I A + I B + I C , или I0 = U0′0Y 0 .
Напряжения на приемнике в соответствии с законом Ома:
U |
a0′ = Z нa I A; |
|
U |
b0′ = Z нb I B ; U |
c0′ = Z нc I C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Линейные или междуфазные напряжения в приемнике: |
||||||||||||||||
U ab = U a0′ − U b0′ ; |
|
U |
bc = |
U |
b0′ − |
U |
c0′ ; U ca = |
U |
c0′ − |
U |
a0′ . |
|||||
|
|
|
|
|
В отсутствие нулевого провода напряжение смещения нейтрали определяется по формуле:
U |
0′0 = |
EA |
Y |
A + EB |
Y |
B + EC |
YC |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
A + |
Y |
B + |
YC |
|||||
|
|
|
|
|
Далее расчет по предложенному выше алгоритму.
В случае трехпроводного соединения (нейтральный провод отсутствует) расчет трехфазной цепи при любых соединениях генератора и приемника может быть сведен к
12
решению упомянутой выше задачи с использованием преобразования «треугольника» в «звезду» или «звезды» в «треугольник» [1, 2].
Приведем алгоритм расчета сложной трехфазной цепи в несимметричном режиме на примере рассмотренной выше схемы (рис. 1.11). Преобразуем соединение «звезда» в эквивалентный ей «треугольник» по формулам:
Zаb = Zнa + Zнb + |
Zнa Zнb |
; Zbc = Zнb + Zнc + |
Zнb Zнс |
; Zса = Zнc + Zнa + |
Zнa Zнс |
. |
|
|
|
||||
|
Zнc |
Zнa |
Zнb |
Получим преобразованную схему (рис. 1.12).
|
A |
IA Zла |
а Iaa′ |
UA0 |
EA |
Zca |
Zab Zнc′a′ |
|
|||
UC0 |
0 |
EB |
Ic′a′ |
|
|
|
C |
EC UB0 |
|
B |
|
c |
Zbc |
b c′ |
|
Zлb |
|
|||||
|
|
|
IB |
|
|
|
|
|
|
IC |
|
Zлc |
|
|
Icc′ |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.12
а′
Ia′b′ |
Zнa′b′
Zнb′c′ Ib′c′ b′
Ibb′
Поскольку точки a и a′; b, b′; c, c′ равнопотенциальны, то сопротивления Zab и Zнa′b′, Zbc и Zнb′c′, Zca и Zнc′a′ включены параллельно. Их можно заменить эквивалентными фазными сопротивлениями. Получим схему (рис. 1.13).
Zabэ = |
ZаbZнa′b′ |
|
; Zbcэ = |
ZbсZнb′с′ |
|
; Zcаэ = |
ZсаZнс′a′ |
. |
||||
|
|
|
|
Zbс + Zнb′с′ |
|
|||||||
|
Zаb + Zнa′b′ |
|
Zса + Zнс′a′ |
|||||||||
|
|
A |
|
IA |
Zла |
а |
|
|
||||
|
UA0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|
Zcaэ |
|
Zabэ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
UС0 0 EB
С |
EC |
UB0 |
B |
c |
Zbcэ |
b |
|
||||||
|
|
|
IB |
Zлb |
|
|
|
|
IC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zлc |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 1.13 |
|
|
|
||
Преобразуем в ней «треугольник» нагрузки в эквивалентную «звезду»: |
|
||||||||
Zнэа = |
ZаbэZсaэ |
; Zнэb = |
|
|
ZаbэZbсэ |
; Zнэс = |
ZbсэZсаэ |
. |
|
Zаbэ + Zbсэ + Zсaэ |
|
Zаbэ + Zbсэ + Zсaэ |
Zаbэ + Zbсэ + Zсaэ |
||||||
|
|
|
|
|
13
Получим упрощенную расчетную схему (рис. 1.14).
|
|
|
|
|
|
А |
|
IA |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zла |
|
|
|
|
|
|
а |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zнэа |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0′0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0′ |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
EC |
|
EB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zнэc |
|
|
|
|
|
|
|
Zнэb |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Zлс |
|
IC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IB |
|
|
Zлb |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Напряжение смещения нейтрали: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
0′0 = |
|
|
EA |
Y |
A + EB |
Y |
B + EC |
YC |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
A + |
Y |
B + |
YC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
Y |
A = |
|
|
|
; |
|
Y |
В = |
|
|
|
|
; |
|
|
YС = |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
Zла + Zнэa |
|
|
Zлb + Zнэb |
|
|
|
Zлc + Zнэс |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ток в линии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I A = (E A − |
U |
0′0 )Y A; I B = (EB − U 0′0 )Y B ; I С = (EC − |
U |
0′0 )Y C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фазные напряжения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
U a0′ = Z нэa I A; |
|
|
U b0′ = Z нэb I B ; |
|
U с0′ = Z нэc I C . |
Линейные напряжения Uab, Ubc, Uca , они же Ua′b′, Ub′c′ и Uc′a’ определим из известных соотношений:
U ab = U a′b′ = U a0′ − U b0′ ; U bc = U b′c′ = U b0′ − U c0′ ; U ca = U c′a′ = U c0′ − U a0′ .
Вернемся к исходной схеме (рис. 1.11), в которой фазные токи в «треугольнике» нагрузки:
I |
a′b′ |
= |
U |
a′b′ |
; I |
b′с′ |
= |
U |
b′с′ |
; I |
с′а′ |
= |
U |
с′а′ |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Zнa′b′ |
|
|
Zнb′с′ |
|
|
Zнс′а′ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи в короткой линии (узлы а−а′, b−b′, и c−c′) по I закону Кирхгофа:
I aa′ = I a′b′ − I c′a ; I bb′ = I b′c′ − I a′b; I cc′ = I c′a′ − I b′c.
Наконец, токи Ia, Ib, Ic в нагрузке «звездой»:
I a = I A − I aa′ ; I b = I B − I bb′ ; I c = I C − I cc′ .
Фазные напряжения по закону Ома:
U a0′ = Z нa I a ; U b0′ = Z нb I b; U c0′ = Z нc I c .
14
2. Аварийные режимы работы трехфазных цепей
При обрыве проводов, коротких замыканиях в линии или фазах приемника в трехфазной цепи возникает аварийный режим [1–6, 9]. Обрыв фазы приемника (например, фазы А) приводит к возникновению аварийного режима в трехпроводной цепи с симметричным приемником, соединенным по схеме «звезда» без нейтрали (рис. 2.1, а).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ua0 |
A |
|
|
|
|
Zлb |
|
|
Zнэ |
|
|
|
|
|
|
|||
B |
IB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UBC |
|
|
|
|
|
0′ |
+j |
UC |
|
|
||||
|
|
Zлc |
|
|
|
|
|
|
IC |
UB |
|
||||
C |
IC |
|
Zнэ |
|
|
C |
|
U0′0 |
B |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0′ |
−IB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
Рис. 2.1
Фазы B и C окажутся соединенными последовательно и будут подключены к линейному напряжению UBC. Очевидно, что при этом фазные напряжения уменьшатся и станут равными U b0′ = U c0′ = U л 2 .
На векторной диаграмме (рис. 2.1, б) точка 0′ окажется посередине вектора UBC. Векторы напряжений в фазах приемника Ua0′, Ub0′ и Uc0′ можно построить, если соединить точки А, В и C с точкой 0′.
Из построения следует, что напряжение Ua0′ станет равным U a0′ = U л cos30° . Токи
в фазах: I a = 0; I b = I c = U л |
. |
|
2Z ф |
На векторной диаграмме токи (при активно-индуктивной нагрузке) отстают соот-
ветственно от напряжений на угол ϕ = arctg XR .
При наличии нулевого провода обрыв в одной фазе не нарушает режима в двух других фазах.
Короткое замыкание в фазе при соединении приемника «звездой» приводит к уменьшению напряжения в этой фазе до нуля и к увеличению в двух других фазах напряжения до значения линейного напряжения. Так, при коротком замыкании фазы a приемника потенциал точки 0′ будет равен потенциалу фазы A источника ϕ0′ = ϕA и, следовательно, точка 0′ на векторной диаграмме (рис. 2.2), сместится в точку A, напряжения фаз b и с станут равными линейным напряжениям генератора:
Ub0′ = UBA; Uc0′ = UCA.
15
+1
Ic |
|
0′ |
Ia =−(Ib + Ic) |
|
A |
||
|
|
||
|
ϕ′ |
|
|
|
|
ϕ′ |
|
|
|
|
|
Ib + Ic |
|
Ib |
|
|
|
|
+j
Uc0′ |
0 |
Ub0′ |
|
||
C UC |
|
UB B |
|
Рис. 2.2 |
|
Напряжение Ua0′ = 0.
Модули токов: I b = I c = U л Z ф .
Ток короткого замыкания в фазе a приемника может быть найден из векторной диаграммы:
Ia = − (Ib + Iс).
Заметим, что в трехпроводной цепи сумма комплексных значений линейных токов всегда равна нулю:
Ia + Ib + Iс = 0.
В трехфазной цепи с симметричным приемником (рис. 2.3, а), связанным по схеме «треугольник», аварийный режим возникает при обрыве фазы в нагрузке, например bc. В этом случае ток Ibc = 0.
A IA Zлa
B IB Zлb
C IC Zлc
|
Ica = |
I |
|
+j |
a |
C |
|
||
|
|
|
|
|
Iab |
UCA |
UAB |
Zab |
|
|
–Iab = IB |
+1 |
b |
|
Zca |
||
|
0 |
Iab |
||
|
Ibc |
|
||
|
Ica |
Ibc= 0 |
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
|
|
|
|
UBC |
–Ica |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
IA |
а) |
б) |
Рис. 2.3
Фазные токи других фаз Iab и Ica остаются неизменными. Следовательно, линейный ток, связывающий эти фазные токи, так же имеет прежние значение:
I A = I ab − I ca .
Токи в линиях B и C могут быть определены из известных соотношений:
I B = I bc − I ab = 0 − I ab = −I ab ; I С = I ca − I bc = I ca − 0 = I ca .
Топографическая диаграмма, соответствующая данному режиму, представлена на рис. 2.3, б.
Обрыв линии A (рис. 2.4, а). Токи в параллельных ветвях приемника и линейные токи находим из выражений:
I bc = |
|
U |
bc ; I ab = I ca = |
|
U |
bc |
; I A = 0; I C = − I B = I сa − I ac . |
|
|
||||||
|
|
(Z ab + Z ca ) |
|||||
|
|
Z bc |
|
Топографическая диаграмма представлена на рис. 2.4, б.
16
a |
+j |
Uab = Uca = 0 |
Iab |
|
|
|
IA=0 +1 |
|
Zab |
|
IC= –IB |
0 |
|||
b |
IB |
|
||||
Ibc |
Zca |
Iab= Ica |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
Ibc |
|||
Ubc |
|
Zbc |
|
–Ibc |
|
|
IC |
Ica |
|
|
|||
c |
|
|
|
UBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 2.4 |
a |
|
IA |
Iab |
|
Uab |
|
|
|
|
Zab |
|
b |
|
IB |
|
|
|
||
|
|
|
Ibc |
|
Ubc |
|
Zbc |
|
|
|
c IC
Рис. 2.5
Короткое замыкание в фазе ac при соединении приемника «треугольником» приводит к схеме (рис. 2.5). Здесь фазные напряжения:
U ca = 0;
U bc = U ab = U л ,
т. е. эти фазы оказываются соединенными параллельно, но остаются под линейным напряжением.
3. Разложение несимметричной трехфазной системы на симметричные составляющие
Вэлектрических цепях любую несимметричную систему (напряжений, ЭДС, токов
ит. д.) можно представить тремя симметричными системами: прямой, обратной и нулевой последовательностями чередования фаз [1, 6, 7, 11]. Такое представление позволяет задачу анализа несимметричного режима работы цепи свести к рассмотрению трех более простых симметричных режимов, определяемых каждой симметричной составляющей. Характеристики несимметричного режима определяются суммированием соответствующих характеристик симметричных режимов (метод наложения).
Основные положения метода представления несимметричной системы симметричными составляющими рассмотрим на примере несимметричной системы фазных напряжений (рис. 3.1).
Рис. 3.1
17
В соответствии с этим методом векторы симметричных составляющих будут записаны в виде следующих векторов:
- векторы, составляющие прямую последовательность чередования фаз:
U |
|
|
U |
|
= U |
e− j |
2π |
U |
|
= U |
e− j |
4π |
= U |
e j |
2π |
|
|||||||||||
|
; |
|
3 ; |
|
3 |
3 |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- векторы, составляющие обратную последовательность чередования фаз:
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
4π |
2π |
||
U |
A2; U |
B2 = |
U |
A2e j |
3 ; |
U |
C 2 = |
U |
A2e j |
3 = |
U |
A2e− j |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
- векторы, составляющие нулевую последовательность чередования фаз:
UA0 = UB0 = UC0 .
j 2π
Используя фазовый множитель a = e 3 , физический смысл которого заключается в том, что умножение любого вектора на a соответствует повороту данного вектора на угол 120º против часовой стрелки, векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей чередования фаз запишутся в виде:
- составляющие прямой последовательности:
U A1; UB1 = a2U A1; UC1 = aU A1 ; - составляющие обратной последовательности:
UB = UB1 + UB2 + UB0 = a2U A1 + aU A2 + U A0 ; - составляющие нулевой последовательности:
UC = UC1 + UC 2 + UC0 = aU A1 + a2U A2 + U A0 .
Векторы исходной несимметричной системы представляются в виде геометрической суммы векторов симметричных составляющих:
U A = U A1 + U A2 + U A0 ;
UB = UB1 + UB2 + UB0 = a2U A1 + aU A2 UC = UC1 + UC 2 + UC0 = aU A1 + a2U A2
+U
+U
A0
A0
;
.
Если для упрощения опустить индекс А в правой части, то получим:
U A = U1 + U 2 + U 0 ; U B = a2U1 + aU 2 + U 0 ; U C = aU1 + a2U 2 + U 0 .
Здесь U1, U 2 , U 0 − векторы напряжений прямой, обратной и нулевой последова-
тельностей фазы А. Их называют опорными векторами симметричных составляющих. Если решить последнюю систему уравнений относительно неизвестных опорных векторов при известных фазных напряжениях исходной несимметричной системы, то получим:
U1 = |
U |
A |
+ aU |
B |
+ a2 |
U |
C ; U 2 = |
U |
A |
+ a2 |
U |
B |
+ aU |
C ; U 0 |
= |
|
U |
A + U B + U C |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последние две системы уравнений позволяют решить задачу определения векторов несимметричной системы по неизвестным симметричным составляющим и, наоборот – по неизвестным векторам исходной системы находить опорные векторы симметричных составляющих.
18
4.Численный пример расчета трехфазной цепи
Ксимметричному трехфазному генератору подключены три приемника (рис. 4.1), элементы которых обозначены соответствующими индексами.
E |
→ |
А |
a |
|
|
|
W |
|
|
0 |
→ |
В |
W |
b |
|
Кл 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
С |
|
c |
|
R1 |
|
XL3 R3 |
|
|
|
XC2 |
||
|
|
|
|
0′
Рис. 4.1
Требуется:
Указать на схеме все необходимые для расчета цепи токи и напряжения. Рассчитать их значения.
В выбранном масштабе построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. На топографической диаграмме указать векторы напряжений на всех элементах схемы.
Определить показания электродинамических приборов (ваттметров). Данные расчеты произвести для первых трех режимов работы схемы:
1.Симметричный режим ( Z a = Z b = Z c , ключ замкнут).
2.Несимметричный режим ( Z a ≠ Z b ≠ Z c ), (при замкнутом ключе в фазе ab третьего
приемника изменить значение любого параметра в 3 раза).
3.Режим аварийный работы (ключ разомкнут).
4.Используя найденные значения напряжений (токов) при несимметричном режиме, определить систему симметричных составляющих напряжений (токов).
Дано: Eл = 380 В; R1 = 6 Ом; X C 2 = 10 Ом; R3 = 9 Ом; X L3 = 9 Ом.
Решение:
Симметричный режим работы цепи. Согласно заданию укажем на схеме токи и напряжения, которые требуется определить. Поскольку источник и приемники симметричны, отобразим их на расчетной схеме по одной фазе А (рис. 4.2).
E |
А |
IA R1 |
a Iab3 |
jXL3 R3 |
|
UAB |
|
Ia2 |
Uab3 |
0 |
В |
UCA |
−jXC2 Ua2 |
|
|
|
|||
|
UBC |
|
|
|
|
С |
|
0′ |
|
Рис. 4.2
19
Преобразуем третий приемник (рис. 4.1) из соединения «треугольник» в эквивалентную «звезду». Сопротивления крайних приемников Z2 и Z4 соединены параллельно
(рис. 4.3).
E |
А |
IA |
Z1 |
a |
|
|
|
|
В |
UAB |
|
Ia2 |
|
Ia3 |
|
0 |
UCA |
|
Z2 |
Ua2 |
Z |
Ua3 |
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
UBC |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
0′ |
|
0′ |
|
Рис. 4.3
Поскольку фазные сопротивления приемника Z3 равны по условию, то по правилу преобразования можем записать:
Z 4 |
= |
Z 3 |
= |
9 + j9 |
= 3 + j3 = 4,243e j 450 Ом. |
|
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
Заменим сопротивления Z2 и Z4 соответствующим комплексным сопротивлением Z 5 , численное значение которого в показательной и алгебраической форме записи представляется в виде:
Z 5 |
= |
|
Z |
2 |
Z |
4 |
|
= |
|
− j10 |
(3 + j3) |
= |
30 |
− j30 |
= |
42,426e− j 45 |
= 5,571e j21,801 = 5,1725 + j2,069 |
Ом. |
|||||||
Z 2 |
|
+ Z 4 |
|
|
− j10 |
+ |
3 + j3 |
3 |
− j7 |
7,615e− j66,801 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
EA |
|
|
IA |
|
|
|
Z1 |
a |
5 |
|
|
|
|
В результате преобразований исходная |
схема |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
для фазы А принимает вид, представленный на рис. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4, в котором эквивалентное полное комплексное со- |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
противление фазы A: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z a |
|
= Z1 + Z5 = 6 + (5,1725 + j2,069) = 11,173 + j2,07 = 11,362e j10,49° Ом. |
|
Согласно заданию источник – симметричный генератор с линейным напряжением. Поэтому комплексы линейных напряжений источника определятся выражениями:
U AB = 380e j30° В; U BС = 380e− j90° B; U СA = 380e j150° B.
Поскольку источник соединен по схеме «звезда», его фазные ЭДС имеют значения:
|
E A = 220e j0° В; EB |
= 220e− j120° B; |
EС = 220e j120° B. |
||||
По заданию |
нагрузка симметричная Z a = Z b |
= Z c , следовательно, напряжение |
|||||
смещения нейтрали равно нулю |
U |
0'0 = 0 В и учитывая, что для соединения «звезда» |
|||||
|
|||||||
Iл = Iф, находим соответствующие токи: |
|
||||||
I A = |
E A = |
220e j0° |
= 19,362e− j10,491° = 19,038 − j3,525 А; |
||||
11,362e j10,491° |
|||||||
|
Z a |
|
|
20