Лекция №2

Время: 2 часа.

ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ: Изучить планы наблюдений за работой системы электроснабжения железнодорожного транспорта, оценить надежность ее элементов по опытным данным, рассмотреть законы распределения времени до отказа.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:

ВВЕДЕНИЕ – 5 мин.

1. ПЛАНЫ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА РАБОТОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА – 20 мин.

2. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ДАННЫМ ЭКСПЛУАТАЦИИ – 20 мин.

3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА – 40 мин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ – 5 мин.

ЛИТЕРАТУРА

1. ПЛАНЫ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА РАБОТОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Точность оценки надежности системы электроснабжения зависит от наличия статистических данных. Поэтому этапом сбора статистической информации является важнейшим этапом наблюдений за ее работой. Данный этап является достаточно длительным по времени и трудоемким по осуществлению, поскольку включает в себя целый комплекс взаимосвязанных мероприятий, таких, как:

- выбор номенклатуры изделий;

- выбор условий эксплуатации наблюдаемых изделий;

- выбор характеристик надежности, подлежащих оценке для этих изделий;

- определение доверительных границ, в которых должны находиться оцениваемые характеристики надежности;

- выбор критериев отказов изделий или их предельных состояний;

- выбор плана наблюдений.

В общем случае план наблюдений за работой объектов контактной сети определяет вид выборки наблюдаемых изделий – полная, усеченная, смешанная. От принятого вида выборки зависит методика расчета характеристик надежности.

В настоящее время в качестве основных планов наблюдений используются 5 вариантов: [N U N], [N U T], [N U r], [N R T], [N R r].

Данное обозначение возможных планов наблюдений имеет следующий смысл:

- N – общее число наблюдаемых изделий;

- U – под наблюдением находятся исправные изделия, отказавшие изделия исключаются из числа наблюдаемых. Если отказавшие изделия восстанавливаются и вновь используются, то они также исключаются из наблюдения;

- Т – установленное общее время наблюдения;

- R – под наблюдением находятся все изделия до их отказа. Если отказавшие изделия восстанавливаются и вновь используются, то они вновь включаются в число наблюдаемых;

- r – число отказов (предельных состояний), до возникновения которых проводятся наблюдения.

Под отказом понимается событие, заключающееся в потере объектом работоспособного состояния.

Под предельным состоянием понимается состояние объекта, при котором его дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно, либо его восстановление невозможно или нецелесообразно.

В соответствии с данными обозначениями планы наблюдений характеризуются следующим образом:

[N U N] – под наблюдением находятся N изделий. Наблюдение ведется до отказа (наступления предельных состояний) всех изделий. Отказавшие изделия новыми не заменяются. Это случай полной выборки.

[N U T] - под наблюдением находятся N изделий. Наблюдение ведется до наступления момента Т. Отказавшие изделия новыми не заменяются. Это случай усеченной по времени Т выборки.

[N U r] - под наблюдением находятся N изделий. Наблюдение ведется до появления r отказов. Отказавшие изделия новыми не заменяются. Это случай усеченной по количеству отказов r выборки.

[N R T] - под наблюдением находятся N изделий. Наблюдение ведется до наступления момента Т. Отказавшие изделия заменяются новыми или ремонтируются. Это случай усеченной по времени Т выборки.

[N R r].- под наблюдением находятся N изделий. Наблюдение ведется до появления r отказов. Отказавшие изделия заменяются новыми или ремонтируются. Это случай усеченной по количеству отказов r выборки.

План наблюдений [N U N] на практике встречается наиболее редко, поскольку требует очень длительного времени наблюдения до выхода из строя всех наблюдаемых объектов. Остальные планы наблюдений используются чаще, поскольку их достаточно просто реализовать в эксплуатации и при испытаниях объектов контактной сети.

Выбор того или иного плана наблюдений определяется характером конкретной решаемой задачи. В соответствии с планом наблюдений меняются методики и формулы для расчета характеристик надежности.

2. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ДАННЫМ ЭКСПЛУАТАЦИИ

В качестве элементов системы электроснабжения выберем фарфоровые тарельчатые изоляторы контактной сети и выполним оценку их надежности по результатам испытаний. Для этого необходимо вычислить показатели надежности работы фарфоровых тарельчатых изоляторов контактной сети. В качестве таких показателей выберем вероятность безотказной работы P*(t), плотность распределения времени безотказной работы f*(t), интенсивность отказов λ*(t) и среднее время безотказной работы T*₁.

Исходные данные. На испытаниях находилось 1000 фарфоровых тарельчатых изоляторов. Испытания проводились в течение 14000 часов. В ходе испытаний отказало n = 75 изоляторов.

Весь интервал наработки от 0 до 14000 часов, на котором обнаружены неисправности, разбиваем на интервалы (разряды) величиной t_i. Число таких интервалов k определяется по правилу Старджента, как:

k = 1 + 3,3 lg n= 1+ 3,3 lg75 = 6, 63.

Полученное значение k округляем до ближайшего целого числа 7. Тогда t_i = 2000 часов.

Таким образом, все время испытания разбиваем на 7 интервалов по 2000 часов. В ходе испытаний отказы по интервалам времени распределились, как указано в таблице 1.

Таблица 1. Распределение отказов фарфоровых тарельчатых изоляторов по времени

Интервал времени t, час	0 – 2000	2000 – 4000	4000 – 6000	6000 – 8000	8000 – 10000	10000 – 12000	12000 – 14000
Продолжительность интервала ti, час	2000	2000	2000	2000	2000	2000	2000
Число отказов в интервале ni, шт.	13	12	10	11	9	10	10
Число исправных объектов Ni, шт.	987	975	965	954	945	935	925
P*(t)	0,987	0,975	0,965	0,954	0,945	0,935	0,925
f*(t) ·10 -6, час-1	6,5	6,25	5,83	5,75	5,5	5,41	5,36
λ *(t) ·10 -6, час-1	6,59	6,41	6,04	6,02	5,82	5,79	5,794
Т*1(t) ·10 5, час	1,54	1,60	1,71	1,74	1,82	1,85	1,87

Вычислим значения P*(t), f*(t), λ*(t) и Т^*₁(t) для каждого интервала времени t_i.

Для вычислений используем выражения:

P^*(t) = N(t) / N₀ = (N₀ - n(t)) / N₀; f^*(t) = n(t, t + Δt) / (N₀·Δt); λ^*(t) = f^*(t) / Р*(t);

Т^*₁ =( _i )/ n_.

Подставляя данные из таблицы 1 в указанные выражения, например для 1-го интервала времени будем иметь:

P^*(2000) = N(2000) / N₀ = (1000 – 13)/ 1000 = 0,987;

f^*(2000) = n(0, 2000) / (1000·2000) = 13 / 2·10⁶ = 6,5·10 ^-6;

λ^*(2000) = f^*(2000) / Р*(2000) = 6,5·10 ^-6 / 0,987 = 6,59·10 ^-6;

Т^* ₁ (2000) =( / 13) = 2000·1000 / 13 = 2,3·10 ⁵.

Аналогично определяем значения P*(t), f*(t), λ*(t) и Т^*₁(t) для других интервалов времени t_i. Полученные данные внесем в таблицу 1.

Анализ полученных данных показывает, что с увеличением времени работы надежность фарфоровых тарельчатых изоляторов контактной сети снижается – вероятность безотказной работы изменяется от P^*(t) = 0,987 в первом интервале времени до P^*(t) = 0,925 при времени испытания t = 14000 часов. Одновременно уменьшается и время наработки до отказа – соответственно с 154000 часов до 27000 часов для указанных значений времени испытаний. Интенсивность отказов практически не меняется, что свидетельствует о стабильной работе изоляторов в указанном промежутке времени. Даже наблюдается некоторое снижение интенсивности отказов. Одновременно увеличивается и время наработки до отказа – соответственно с 154000 часов до 187000 часов для указанных таблице значений времени испытаний.

3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА

Для практических расчетов показателей надежности системы электроснабжения и ее элементов используются различные законы распределения времени до отказа. Выбор того или иного закона осуществляется исходя из физической сущности наблюдаемых явлений. Рассмотрим наиболее часто применяемые законы.

1. Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальное или показательное распределение времени до отказа характерно для работы многих объектов контактной сети на этапе нормальной работы, т.е. с момента окончания приработки до момента проявления постепенных отказов, вызванных старением.

Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим – имеет один параметр, при помощи которого можно описать изменение всех остальных интересующих нас величин. Этим параметром является интенсивность отказов λ. Для экспоненциального закона справедливо выражение λ = const, что означает постоянство величины интенсивности отказов на всем интервале рассматриваемого времени. Другие критерии надежности определяются при помощи выражений:

Р(t) = е ^{- λ·t}.

Q(t) = 1 - е ^{- λ·t}.

f(t) = λ·е ^{- λ·t}.

T₁ = 1/λ.

Λ(t) = λ·t.

t_γ = -(1/ λ)·(ln γ/100).

Пример: Время безотказной работы питающего зажима контактной сети подчинено экспоненциальному закону с параметром распределения λ = 0,000005 час^-1. Определить показатели надежности питающего зажима при его работе в течении 8760 часов (1 года).

P(t) = Р(t) = е ^{- λ·t} = 0,9571.

Q(t) = 1 - е ^{- λ·t} = 0,0429.

f(t) = λ·е ^{- λ·t} = 0,00000479 час^-1.

T₁ = 1/λ = 200000 час.

Λ(t) = λ·t = 0,0438

Для γ = 5 t_γ = -200000· ln 0,05 = 599146 час.

Для случая экспоненциального закона вероятность безотказной работы с ростом времени наработки убывает по экспоненте (рисунок 1).

Рисунок 1. Характер изменения вероятности безотказной работы P(t) и интенсивности отказов λ(t) при экспоненциальном законе распределения времени до отказа

В ряде случаев необходимо вычислять математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X). Для экспоненциального закона распределения эти величины определяются, как:

М(Х) = 1/λ; D(X) = 1/λ²; σ(X) = 1/λ.

2. Нормальный закон распределения

Нормальное распределение времени до отказа или распределение Гаусса является наиболее общим законом распределения. Согласно теории больших чисел любое распределение всегда подчиняется нормальному закону в том случае, когда на объект оказывают влияние многие примерно однозначные факторы. Таким образом, нормальное распределение охватывает весь жизненный цикл объекта, а не только его отдельные этапы. Для рассмотренного выше экспоненциального закона распределения характерным являлся этап нормальной работы.

Нормальный закон распределения является двухпараметрическим – имеет два параметра, при помощи которых можно описать изменение всех остальных интересующих нас величин. Этими параметрами являются математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ времени безотказной работы элемента.

Математическая запись функции плотности вероятности безотказной работы при нормальном распределении имеет вид:

_{2 2}

f(t) = 1 / (σ·π)·е^{-(t – m ) / (2 σ )} , - ∞ ≤ t ≤ + ∞.

Этому выражению соответствует график плотности вероятности безотказной работы, представленный в виде y = f(t) на рисунке 2.

Для данного распределения вероятность безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

P(t) = ^{-( t – m ) / (2 σ )}·dt = 0,5 – Ф₀((t – m)/σ),

где Ф₀ – функция Лапласа, значение которой определяется по таблицам.

Рисунок 2. Характер изменения плотности вероятности безотказной работы f(t) и интенсивности отказов λ(t) при нормальном законе распределения времени до отказа

3. Усеченный нормальный закон распределения

В случае, когда случайная величина изменяется в диапазоне 0 ≤ t ≤∞, применяется усеченное нормальное распределение. При этом функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

f(t) = с / (σ₀·π)·е^{-(t – mо ) / (2 σо )} , 0 ≤ t ≤ + ∞.

Усеченное нормальное распределение также является двухпараметрическим и зависит от математического ожидания m₀ и среднего квадратического отклонения σ₀ времени безотказной работы элемента. Величина m₀ соответствует максимальному значению функции f(t) и называется модой.

Коэффициент с определяется из выражения:

с = 1 / (0,5 – Ф₀(m₀ /σ₀))

Между величинами m ,σ и m₀ , σ₀ существуют связи, вида:

_____________

m = m₀ + k·σ₀; σ₀ = σ₀·√(1+k·m_о/σ_о–k²) ,

_{2 2}

где k = (с / π)·е^{-( mо ) / (2 σо )} .

4. Логарифмически нормальный закон распределения

Логарифмически нормальный закон распределения используется для описания случайных величин, представляющих собой произведение достаточно большого числа случайных величин.

Логарифмически нормальное распределение является двухпараметрическим и зависит от двух параметров μ и s.

Функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_{2 2}

f(t) = 1/ (st·π)·е^{-(lnt – μ) / (2 s )}.

Между величинами m ,σ и μ, s существуют связи, вида:

_{2 2 2}

m = е^{0,5(2 μ + s )}; σ = (е^{(2μ + s )} ·(е^s – 1))^0,5

5. Закон распределения Вейбулла

Логарифмически нормальный закон распределения используется для описания процессов усталостных разрушений. Распределение Вейбулла является двухпараметрическим с параметром формы α и параметром масштаба β.

Функция плотности вероятности безотказной работы определяется, как:

_α

f(t) = α·t^{α - 1}· е^-(t / ^β) / β^α.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение определяются из выражений:

m = βГ(1 + 1/ α); σ = β(Г(1 + 2/ α) – Г²(1 + 1/ α))^0,5,

где Г = - гамма функция.

Распределение Вейбулла является универсальным, поскольку при определенных значениях параметра α оно превращается в другие распределения. При α = 1 распределение превращается в экспоненциальное; при α < 1функции плотности и интенсивности отказав убывающие; при α >1функция интенсивности отказав возрастающая; при α = 2 функция интенсивности отказав линейная; при α = 3,3 распределение близко к нормальному распределению.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: Учебник для вузов ж/д транспорта/ А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000, 512 с.