Лекция 3. Различные определения вероятностей Статистическое определение вероятности

Использование классического определения наталкивается на ряд трудностей при решении некоторых задач. Часто это связано с тем, что

1. невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Например: попадание стрелка в цель, выход из строя радио деталей и т.п.

2. Затруднительно указать основания, позволяющие считать события равновозможными (обычно в силу отсутствия симметрии явления). Например: рождение мальчика или девочки; распад атомного ядра; игральная кость с неоднородными гранями.

Пусть проводится большое количество повторных испытаний, при неизменных условиях. В каждом из этих испытаний некоторое событие А может произойти или нет. Обозначим через m – число появлений события А в n независимых испытаниях.

Отношение числа наступлений события А к общему числу всех фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой или частостью события А и обозначают

Было замечено, что относительная частота обладает некоторой устойчивостью, которая заключается в том, что при достаточно большом числе испытаний она сохраняет почти постоянную величину, причем большие отклонения тем реже, чем многочисленнее проводимые испытания.

Для иллюстрации этого факта приведем официальные данные шведской статистики о частоте рождаемости девочек в 1935 году по месяцам, взятые из книги Г.Крамера «Математические методы в статистике»: 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482 0,479.

Видно, что частости колеблются около числа 0,482.

Оказывается, что для тех случаев, к которым применимо классическое определение вероятности, колебание относительной частоты происходит около вероятности P события.

Имеется огромный опытный материал, подтверждающий этот факт. Приведем эксперимент с бросанием монеты.

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадений герба	Число выпадений надписи
Ж. Бюффон	4 040	2 048	0,5080
К. Пирсон	12 000	6 019	0,5016
К. Пирсон	24 000	12 012	0,5005

Относительная частота колеблется около вероятности P = 0,5.

Приведенные факты дают повод предположить наличие независящей от испытателя закономерности течения явления, которая заключаются в указанном почти постоянстве относительных частот. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, естественно назвать вероятностью случайного события А.

Итак, будем говорить, что событие А имеет вероятность, если выполнены следующие условия:

а) Можно, по крайней мере принципиально, провести в неизменных условиях неограниченное число независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или нет.

б) Относительная частота события А для достаточно большой группы испытаний колеблется около некоторого числа (вообще говоря заранее неизвестного).

Таким образом, определенная вероятность называется статистической. В качестве числового значения статистической вероятности можно взять относительную частоту

,

или число близкое к ней.

Естественно при этом потребовать, чтобы:

1. вероятность достоверного события была равна 1,

2. вероятность невозможного события – 0,

3. если некоторое событие А является суммой конечного числа несовместных событий А_i, i = 1,2,…,n, имеющих вероятности, то

P(A) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Данное определение носит лишь описательный, априорный характер. Однако мы сохранили за вероятностью ее объективный, не зависящий от познающего, смысл.

Попытка трактовать вероятность как предел

приводила к противоречию с некоторыми основными положениями философии. Не вдаваясь в подробности, укажем лишь на то, что при таком определении вероятность теряет характер объективной числовой характеристики реальных явлений

Действительно, пока не произведем бесконечного числа испытаний, нельзя говорить о наличии вероятности того или иного события. А поскольку этого сделать невозможно, то мы вообще лишены возможности использовать теорию вероятностей.