Примерные вопросы к экзамену
По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности Математика, 2 курс, 4 семестр:
Классификация случайных событий. Равносильные события. Произведение и сумма событий. Разность и противоположные события. Полная группа событий. Примеры.
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Примеры вычисления вероятностей.
Недостатки классического определения вероятности. Статистическое определение. Геометрическое определение вероятности. Решение задачи о встрече. Парадокс Бертрана.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей и ее следствие.
Правила сложения и умножения в комбинаторике. Размещения, перестановки и сочетания без повторения, и формулы их вычисления.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Примеры.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли независимых повторных испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число.
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции
Асимптотическая формула Пуассона, условия ее применимости.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа. Свойства интегральной функции Лапласа
Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа о вычислении вероятностей
и
.
Случайная величина. Виды случайных величин. Случайная дискретная величина и способы ее задания. Примеры построения закона распределения.
Функция распределения, ее свойства. Построить функцию распределения случайной дискретной величины заданной таблицей:
|
X |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
P |
0,2 |
0,3 |
0,35 |
0,1 |
0,05 |
Математическое ожидание, дисперсия случайной дискретной величины и их свойства.
Математическое ожидание и дисперсия случайной дискретной величины, распределенной по биномиальному закону.
Функция распределения случайной непрерывной величины. Функция плотности вероятностей и ее свойства.
Равномерное распределение случайной непрерывной величины. Ее функция распределения. Графики функций плотности и распределения.
Нормальный закон распределения. График функции плотности и его свойства. Функция распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины (математическое ожидание с выводом). Формулы вероятностей
и
.Понятие о законе больших чисел. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева и ее следствия. Смысл центральной предельной теоремы Ляпунова.
Вариационный ряд и его разновидности. Числовые характеристики вариационного дискретного ряда и их свойства. Формулы упрощенного вычисления выборочной средней арифметической и дисперсии.
Точечные оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок. Оценка генеральной средней и дисперсии.
Понятие об интервальной оценке. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка генеральной средней.
Интервальная оценка генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Необходимый объем выборки для оценки генеральной средней, имеющей нормальное распределение, в случае повторной и бесповторной выборки.
Проверка статистических гипотез. Границы критической области. Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормального распределения.
Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии нормального распределения.
*Проверка гипотезы о законе распределения генеральной случайной величины. Теоретический ряд частот. Критерий согласия
-
Пирсона.*Понятие о корреляционной зависимости. Две задачи корреляционного анализа. Построение прямых регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции. Проверка достоверности коэффициента корреляции.