Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней

Если известна генеральная дисперсия , то при проверке гипотезыиспользуется нормальное распределение. Для вычисления мощности критерия при односторонней конкурирующей гипотезе применяется формула

, (11)

где находится из уравнения.

Если генеральная дисперсия неизвестна, то мощность критерия определяется по формулам:

(12)

где .

Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии

При проверке гипотезы , то мощность критерия вычисляется с использованием распределения Пирсона.

Если критическая область левосторонняя, то

(13)

Если критическая область правосторонняя, то

. (14)

Пример 2. По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до хлебоприёмного пункта

минуты. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу мин:

а) при конкурирующей гипотезе мин, если известно, чтомин;

б) при конкурирующей гипотезе мин, если выборочное среднее квадратическое отклонение равномин;

в) для условий а) и б) вычислить мощность критерия.

Решение:

а) Для проверки гипотезы мин, при мин, выбирают левостороннюю критическую область , тогда из уравнения находим .

Рассчитаем наблюдаемое значение статистики критерия:

Так как - то нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки.

б) Для проверки нулевой гипотезы, если неизвестно, амин, наблюдаемое значение статистики критерия рассчитывают по формуле:

Границу критической области находим по таблице Стьюдента:

Поскольку , гипотезане отвергается, т.е.мин не противоречит наблюдениям.

в) Мощность критерия для случая а) рассчитаем по формуле (11):

Мощность критерия в случае б) вычислим по формуле (12):

Пример 3. По результатам 7 независимых измерений диаметра поршня одним и тем же прибором в предположении, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, была проверена на уровне значимости 0,05 гипотеза мм² при конкурирующей гипотезе мм². Гипотеза не отвергнута. Вычислить мощность критерия.

Решение: Согласно строится правосторонняя критическая область.

По таблице - распределения на уровне значимостии при числе степеней свободыопределяем критическую границу.

Вычисляем в формуле (14)

По таблице - распределения находим

.

Лекция 4 Гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины по её эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд.

Для этого на основе анализа опытных данных, общих теоретических предпосылок и особенностей известных распределений подбирают среди них такой закон, который лучше других отражает опытное распределение случайной величины.

Существенную помощь при выборе закона распределения могут оказать кривые распределения и сравнение их с графическим изображением опытного распределения.