Лекция 2. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров. Интервальные оценки параметров распределения.

1. Распределение средней арифметической.

Пусть над генеральной совокупностью, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданиеми средним квадратическим отклонением, проводитсяn независимых наблюдений X₁, X₂, …, X_n, образующих систему независимых одинаково распределённых случайных величин с распределением . Тогда средняя арифметическая

является случайной величиной и имеет нормальное распределение с параметрами и, т.е..

2. Распределение Пирсона (- хи квадрат).

Если есть ряд независимых, нормированных, нормально распределённых случайных величин, то случайная величина

(3)

имеет распределение сстепенями свободы, гдеединственный параметр этого распределения, характеризующий число независимых случайных величин в выражении (3).

Плотность вероятностей распределения «хи квадрат» имеет вид:

,

где - гамма-функция Эйлера.

При функция плотности убывает, а приимеет единственный максимум в точке. График функции плотности изображён на рисунке.

Основные числовые характеристики -распределения:

Математическое ожидание - ;

Дисперсия - ;

Мода - (существует только при);

Распределение Пирсона используется для построения доверительного интервала для генеральной дисперсии.

Для этого распределения составлены таблиц критических значений, в которых для различных значений приводятся числа, вероятность превышения которых наблюдаемой случайной величиной равна заданному значению уровня значимости.

3. Распределение Стьюдента (t-распределение).

В п.1 был рассмотрен закон распределения средней арифметической , зависящий от дисперсиигенеральной совокупности. Однако во многих практических приложениях значение параметра, как правило, неизвестно. Задачу определения закона распределения, не зависящего отрешил английский статистик В. Госсет (писавший под псевдонимом «Стьюдент») в 1908 году.

Дадим определение случайной величины, имеющей распределение Стьюдента:

Если случайная величина имеет нормированное нормальное распределение, а величинаимеет распределениесстепенями свободы, причеминезависимы, то случайная величина

имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы равном .

Функция плотности t-распределения задаётся формулой

(4)

Из формулы (4) видно, что функция плотности чётная, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат. При значение. Максимальное значение функция принимает в точке. Таким образом, вид графика функции (4) аналогичен графику функции плотности стандартного нормального распределения.

Построены таблицы критических точек t-распределения, в которых для заданного уровня значимости для разных значений числа степеней свободы, приводятся числа, вероятность превышения которых равна уровню значимости.

Распределение Стьюдента используется для построения интервальной оценки генеральной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении .

Интервальная оценка параметра распределения. Понятие доверительного интервала.

При оценивании неизвестных параметров наряду с рассмотренными точечными оценками используются также интервальные оценки. В отличие от точечной оценки интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра.

Интервальной оценкой называют числовой интервал , определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с вероятностью близкой к единице, что он заключает в себе значение оцениваемого параметра генеральной совокупности, т.е.

,

где иназывают нижней и верхней границамидоверительного интервала параметра , а вероятностьназываютдоверительной вероятностью или надёжностью.

Чтобы получить представление о точности и надёжности точечной оценки параметра, можно для каждой близкой к единице вероятностиуказать такое значение, что

Число называют точностью оценки или предельной ошибкой выборки.

Рассмотрим правила построения доверительных интервалов для оценивания некоторых параметров распределений.