Задача статистической оценки параметров

Пусть Х – случайная величина, имеющая закон распределения F(Х,θ), где θ – параметр распределения, числовое значение которого неизвестно. Всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдения, с помощью которой судят о значении параметра θ, называют точечной оценкой (или статистикой) параметра θ.

Всякая статистическая оценка должна удовлетворять трем требованиям, быть: несмещенной, состоятельной и эффективной.

1. Статистика θ^*(Х_n) называется несмещенной оценкой параметра θ, если ее математическое ожидание совпадает с θ, т.е.

Мθ^*(Х_n) = θ

2. Статистика θ^*(Х_n) называется состоятельной оценкой параметра θ ,если с ростом объема выборки n она сходится по вероятности к θ, т.е.

P{| θ^*(Х_n) – θ | < ε} 1, приn

3. Статистика θ^*(Х_n) называется эффективной оценкой параметра θ, если среди всех несмещенных оценок данного класса, она имеет наименьшую дисперсию.

Иногда вместо термина «эффективная оценка» используют и другие термины: «несмещённая оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка».

Точечные оценки основных параметров распределений

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Рассмотрим вопрос о том, какими выборочными характеристиками оцениваются эти параметры.

Будем рассматривать различные выборки случайной величины Х данного объёма n.

1. Средняя арифметическая

является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания (генеральной средней) генеральной случайной величиныХ с конечной дисперсией, в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида

,

где .

2. Выборочная дисперсия генеральной совокупности Х с конечной дисперсией

является смещённой состоятельной оценкой генеральной дисперсии .

Несмещённой оценкой является исправленная выборочная дисперсия

,

где дробь называется поправкой Бесселя. При малых значенияхn эта дробь существенно отличается от единицы, с увеличением n она стремится к единице. При n>50 практически нет разницы между и.

Замечание: Если известно значение математического ожидания , то несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной дисперсии является величина

3. Если генеральная совокупность имеет биномиальное распределение, то несмещённой и состоятельной оценкой генеральной доли

,

где М – число наступлений некоторого события А, а N – объём генеральной совокупности, является выборочная доля

,

где m – частота события А в выборке, а n – объем выборки.

Пусть по результатам n наблюдений построен вариационный дискретный ряд

Варианты Xi	x1	x2	x3	.....	xm
Частоты ni	n1	n2	n3	.....	xm

Тогда средняя арифметическая и выборочная дисперсия вычисляются по формулам:

Отметим некоторые свойства этих величин:

1. Если все варианты увеличить в одно и тоже число k, то средняя арифметическая увеличится в k раз, а дисперсия в k² раз.

2. Если все варианты изменить на одно и то же число c, то средняя арифметическая изменится на это же число, а дисперсия своего значения не изменит

.

3. Если все частоты увеличить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая и дисперсия не меняются.

Из этих свойств легко получить, так называемые, формулы упрощённого вычисления:

(1)

(2)

Пример 1. Дано распределение 1000 экземпляров северной сосны по диаметру ствола:

Диаметр ствола (см)	Количество сосен	Диаметр ствола (см)	Количество сосен
14-18	16	38-42	115
18-22	35	42-46	71
22-26	109	46-50	36
26-30	183	50-54	19
30-34	214	54-58	5
34-38	197	Всего:	1000

Требуется вычислить среднюю арифметическую, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение: Для вычисления применим формулы (1) и (2). Нам потребуется вариационный ряд данной выборки. В качестве вариант возьмём середины интервалов. Число с определим по наибольшей частоте. Все вычисления оформляются в таблице: c = 32, k = 4.

Интервалы	Середины интервалов xi	Частоты ni	xi - c
14-18	16	16	-16	-4	-64	256
18-22	20	35	-12	-3	-105	315
22-26	24	109	-8	-2	-218	436
26-30	28	183	-4	-1	-183	183
30-34	32	214	0	0	0	0
34-38	36	197	4	1	197	197
38-42	40	115	8	2	230	460
42-46	44	71	12	3	213	639
46-50	48	36	16	4	144	576
50-54	52	19	20	5	95	475
54-58	56	5	24	6	30	180
Итого:	-	1000	-	-	339	3717

.

Замечание: для того, чтобы изучаемое свойство генеральной совокупности адекватно отражалось в выборке, она должна иметь случайный характер. Этого можно добиться разными способами. Приведём примеры некоторых из них:

1. Собственно-случайная выборка.

Суть метода можно описать следующей схемой: члены генеральной совокупности предварительно занумеровывают, и каждый номер записывают на отдельные карточки. Отбирая наудачу после тщательного перемешивания по одной карточке, получим выборку нужного объёма. Номера карточек укажут, какие члены генеральной совокупности попали в выборку. Возможны два принципиально различных подхода к образованию такой выборки в зависимости от того, возвращается отобранная карточка обратно после регистрации её номера или нет. В первом случае выборка называется повторной, во втором – бесповторной.

2. Механическая выборка.

Выборка называется механической, если члены генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. Например, для 10% выборки отбирается каждый десятый член генеральной совокупности, для 20% - каждый пятый и т.п.

3. Типическая выборка.

Если члены генеральной совокупности предварительно разбить на группы по какому-нибудь признаку (например при изучении качества изделий целесообразно выделить изделия, производимые разными цехами, сменами, станками и т.д.), а в каждой группе произвести собственно-случайную выборку, то получим выборку, которую принято называть типической.

4. Серийная выборка.

Если указанные выше группы (серии) рассматривать, как элементы новой совокупности и из них образовывать собственно-случайную выборку, то полученная из членов выбранных серий совокупность называется серийной выборкой.

При составлении случайной выборки допускаются ошибки двух видов:

- Ошибка регистрации – так называется разница между истинным и наблюдавшимся значениями изучаемого признака. Эта ошибка может носить случайный или умышленный характер. Последнее недопустимо в исследованиях. В случае же случайной ошибки, рекомендуется провести повторную выборку.

- Ошибка репрезентативности – расхождение характеристик признака в генеральной и выборочной совокупности, связанного со случайным характером выборки. Такая ошибка всегда присутствует и задача математической статистики как раз и состоит в оценке величины этой ошибки.