4. Логарифмически-нормальное распределение

Случайная величина называется логарифмически-нормальной, если её натуральный логарифм подчинён нормальному закону распределения.

При этом в отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост пропорционален уже достигнутому к данному моменту значению исследуемой величины, т.е. носит не аддитивный, а мультипликативный характер. Пусть - неслучайная компонента исследуемого признака, т.е. «истинное» значение, когда нет влияния случайных факторов. Черезобозначим численное выражение эффектов воздействия случайных факторов. Тогда значения случайной величины, последовательно трансформируемые действием этих факторов будут находиться по формулам

Отсюда легко получить

(1)

где . Но правая часть в формуле (1) есть результат аддитивного действия множества случайных факторов, что при сделанных выше предположениях может приводить к нормальному распределению этой суммы. Предполагая относительную незначительность воздействия каждого случайного фактора, т.е. пологая, можно в левой части перейти к интегралу

Это и означает, что логарифм интересующей нас величины подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением. Функция распределения случайной величины имеет вид

Соответственно функция плотности равна

Описанная схема формирования значений логарифмически-нормальной случайной величины характерна для многих физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия и др.).

5. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон адекватно описывает распределение длительности жизни элемента, работающего в режиме нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказа (коэффициент смертности) элемента в течение всего промежутка времени постоянна, равная . Ниже приводятся функция распределения, плотность вероятностей и числовые характеристики этого закона:

;

;

среднее: ;

мода: ;

медиана: ;

дисперсия: ;

Распределение, уравнение функции плотности которого имеет вид

,

называется двусторонним экспоненциальным распределением или распределением Лапласа. Числовые характеристики легко находятся:

среднее, мода и медиана равны 0;

дисперсия: .

Симметричная, унимодальная функция плотности этого закона с острым максимумом в точке часто используется для описания распределения случайных ошибокв моделях регрессионного типа.

Ниже опишем три закона необходимых для построения разного рода статистических критериев и интервальных оценок параметров:

6. «Хи-квадрат»-распределение Пирсона с степенями свободы ().

Если есть ряд независимых стандартно нормально распределённых случайных величин, т.е.для, то случайная величина

(2)

имеет распределение сстепенями свободы, гдеединственный параметр этого распределения, характеризующий число независимых случайных величин в выражении (2).

Такие суммы квадратов случайных величин впервые исследовал немецкий астроном Ф. Хельмерт в связи с применением гауссовской теории ошибок. Английский математик, статистик К. Пирсон построил функцию распределения, которую впоследствии стали называть функцией распределения «хи-квадрат». Для отрицательных функция Пирсона, а для неотрицательных

(3)

где Г(х) – интеграл Эйлера 2-ого рода или гамма-функция

Г(х) = .

Соответствующая функция плотности вероятностей задаётся формулой:

(4)

При функция плотности постоянно убывает, а приимеет единственный максимум в точке. График функции плотности при различныхизображен на рисунке 9.1.

Рис. 9.1. график функции плотности распределения

Основные числовые характеристики -распределения:

среднее: ;

мода: ;

дисперсия: ;

асимметрия: ;

эксцесс: .

В таблицах для различных значений приводятся числа, вероятность превышения которых случайной величинойравна заданному значению уровня значимости.

Распределение Пирсона используется для построения доверительного интервала для генеральной дисперсии.