Лекция 9. Некоторые модели законов распределений, наиболее распространенных в практике статистических исследований

Говоря о распространении той или иной модели распределения, следует иметь в виду две возможные роли, которые эта модель может играть. Первая из них заключается в адекватном описании механизма исследуемого реального процесса, генерирующего исходные статистические данные, подлежащие статистическому анализу. Другая роль широко распространенных в статистических исследованиях моделей – использование их в качестве вспомогательного технического средства при реализации методов статистической обработки экспериментальных данных. К распределениям этого типа относятся в первую очередь распределения «хи-квадрат» Пирсона и t-распределение Стьюдента.

В форме справочного материала опишем некоторые распределения широко применяемые в практике.

1. Биномиальное распределение

Пусть имеется последовательность независимых испытаний удовлетворяющих схеме Бернулли: в результате каждого испытания некоторое интересующее событие А может произойти или нет. Причем при многократном (n-кратном) повторении эксперимента вероятность p осуществления события А остаётся одной и той же. Можно описать такую последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с i-м экспериментом данной последовательности случайную величину

Тогда , причем случайные величиныявляются независимыми. Биномиальный закон описывает распределение случайной величины

,

т.е. числа появлений интересующего нас события в последовательности из n независимых испытаний, когда вероятность появления этого события в одном испытании равна p.

Очевидно, что принимает только неотрицательные целые значения с вероятностями

Основные числовые характеристики биномиального закона:

среднее: ;

мода х_мод: ;

дисперсия: ;

асимметрия:

эксцесс: .

2. Распределение Пуассона

Этот закон является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность p наступления интересующего нас события в единичном испытании очень мала, а число производимых испытаний в единицу времени достаточно велико, так что произведение np стремится к постоянной положительной величине . Поэтому закон Пуассона часто называютзаконом редких событий. Обозначим пуассоновскую случайную величину или просто, имея в виду предельный переход от биномиальной случайной величиныприи. При этом вероятности значений находят по формуле:

.

Основные числовые характеристики:

среднее: ;

дисперсия: ;

асимметрия: ;

эксцесс: .

3. Нормальное (гауссовское) распределение

Так называют распределение непрерывной случайной величины, значения которой формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия – аддитивный, т.е. при воздействии случайного фактора F на величину получается величина, где случайная добавкамала и равновероятна по знаку. Функция плотности распределения имеет вид:

,

где а и - соответственно математическое ожидание и дисперсия.

Соответствующая функция распределения:

,

где Ф(t) – функция нормального нормированного распределения или интегральная функция Лапласа.

Основные числовые характеристики:

среднее, мода, медиана: ;

дисперсия: ;

асимметрия: ;

эксцесс: .