Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке [a, b], если её функция плотностей имеет вид

Примером такой случайной величины может служить время ожидания.

Пример. Интервал между моментами прихода автобусов на остановку равен 10 минутам. Пассажир случайным образом подходит к остановке. Найти плотность распределения вероятностей времени ожидания автобуса и определить вероятность, что он будет ожидать от 1 до 3 минут.

Решение: Согласно условию задачи можно считать, что вероятность попадания случайной величины Х (момент прихода пассажира к остановке) в пределы интервала от х до пропорциональна отношению, т.е.

Отсюда

Теперь найдем значение k из свойства 3 плотности вероятностей

Откуда k = 1.

Итак, плотность распределения для любого действительного x задается следующим образом:

Найдем вероятность того, что интервал времени ожидания будет заключен от одной до трех минут, используя свойство 2:

.

Построим функцию равномерного распределения.

Её график имеет вид:

Рис. 7.2. График функции равномерного распределения

Лекция 8. Математическое ожидание, дисперсия, моменты непрерывной случайной величины

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют несобственный интеграл вида

(1)

Дисперсией непрерывной случайной величины называют несобственный интеграл

, (2)

где .

Нетрудно доказать, что

(3)

Если математическое ожидание непрерывной случайной величины Х существует, то несобственный интеграл (1) сходится абсолютно. Следовательно, можно указать достаточно большое число C > 0, что для всех значений х, таких, что , интеграл

будет как угодно мал.

Таким образом, в математическом ожидании доля больших значений случайной величины незначительна. Чтобы детальнее охарактеризовать случайную величину вводят дополнительные числовые характеристики.

Начальным моментом k-го порядка называют математическое ожидание k-ой степени случайной величины Х.

Для дискретной случайной величины этот момент равен:

(4)

Для непрерывной случайной величины:

(5)

Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины X от своего математического ожидания M(X) = a.

В случае дискретной случайной величины:

(6)

Для непрерывной случайной величины:

(7)

С помощью свойств математического ожидания легко показать, что

(8)

(9)

В частности для первых четырёх моментов формула (9) даёт следующие равенства:

(10)

Первые моменты играют важную роль в статистике при нахождении параметров распределения.

Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема

Опыт подсказывает, что события, вероятность наступления которых мала, очень редко происходят, и наоборот, события, вероятность которых близка к единице, обязательно происходят.

В связи с этим имеет место следующий принцип практической уверенности: Если вероятность некоторого события мала, то в практической деятельности поступают так, будто это событие невозможно. И событие считают достоверным, если вероятность его наступления велика.

Однако невозможно вывести математические границы этих вероятностей. Эти границы определяются статистически. Вероятность, ниже которой событие можно принять как невозможное, принято называть уровнем значимости. В статистике приняты уровни значимости и т.д. Соответственно верхняя граница степени уверенностии т.д.

Таким образом, очень важной задачей теории вероятности является установлением закономерностей, происходящих с вероятностью близкой к единице. Всякое предложение, устанавливающее эти закономерности, называется законом больших чисел. По определению профессора А. Я. Хинчина, законом больших чисел называют общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа факторов приводит при некоторых, весьма общих условиях к результату, почти независящему от случая.

Некоторые конкретные условия, при которых выполняется закон больших чисел, указаны в теоремах Чебышева, Бернулли, Пуассона и Ляпунова.

Лемма Маркова

Пусть случайная величина Х принимает неотрицательные значения, A > 0 – любое число. Тогда вероятность того, что случайная величина примет значение большее чем число А, не превосходит дроби , в числителе которой стоит математическое ожидание случайной величины Х, а в знаменателе число А:

Доказательство проведем для случая дискретной случайной величины. Допустим, она принимает неотрицательные значения и имеет конечное распределение

Х	x1	x2	...	xn
Р	p1	p2	...	pn

Разобьем множество всех значений на два класса. В первый отнесем значения не превышающие числа А, во второй класс – значения большие чем число А. Пусть это будут значения

{ x₁, x₂, … , x_k } и {x_k+1, x_k+2, … , x_n }.

Тогда

Учитывая выбор классов, получим

В скобках стоит сумма вероятностей тех значений случайной величины Х, которые больше числа А. Тогда

.

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания M(X) = a по абсолютной величине, будет больше произвольного положительного числа , не превосходит дроби, в числителе которой стоит дисперсия, в знаменателе число.

(11)

Доказательство: Используя лемму Маркова и определение дисперсии легко понять следующее неравенство:

Для вероятности противоположного неравенства имеем неравенство:

(12)

В частности, если X – частота наступления некоторого события, то для частости этого события справедливо неравенство:

(13)

Примеры:

1) Всхожесть семян некоторого растения 70%. Оценить вероятность того, что при посеве 10 000 семян отклонение доли взошедших от вероятности, что взойдет каждое из них, не больше чем 0,01.

Решение: Событие, состоящее в том, что посеянное семечко взойдет, обозначим через А. Число наступлений события А является случайной величиной Х. Математическое ожидание частости события А равно его вероятности и определяет всхожесть посева

Согласно неравенству (13), искомая вероятность оценивается следующим образом:

.

2) В некоторых технологических условиях вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,1. Оценить вероятность того, что из 10 000 изготовленных деталей с дефектом окажутся от 950 до 1030. Можно ли применить неравенство Чебышева? Как надо изменить правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу.

Решение: Неравенство Чебышева оценивает неравенство с модулем, которое равносильно двойному неравенству, выражающего собой промежуток симметричный относительно математического ожидания случайной величины . Границы этого промежутка равны.

В нашем случае математическое ожидание числа деталей Х, изготовленных с дефектом, равно . Таким образом, левая граница отстоит на 50, а правая на 30 единиц. Для симметричности необходимо правую границу изменить на 50. Тогда, учитывая, что дисперсия, а число, из формулы (11) находим:

.

Теорема Чебышева

Пусть - последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные в совокупности некоторым числомC. Тогда средняя арифметическая этих случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

(14)

Доказательство: Для независимых случайных величин справедливо равенство

Учитывая, что для всех , получим

(*)

Из неравенства Чебышева (11) и, с учетом оценки (*), вытекает следующее неравенство

.

Таким образом, при любом фиксированном значении числа , с увеличением числаn вероятность стремится к единице.

Смысл полученных результатов заключается в том, что при осреднении большого числа случайных величин все менее ощущается характерный для случайных величин неконтролируемый разброс значений, так что в пределе при этот разброс исчезает вовсе, или, как принято говорить, случайная величина вырождается в неслучайную. Однако при любом конечном числе слагаемых случайный разброс у среднего арифметического остается. Поэтому возникает вопрос исследования характера этого разброса. Фундаментальный результат в этом направлении известен как «центральная предельная теорема» был впервые сформулирован Лапласом и заключается в том, что для широкого класса независимых случайных величин предельный закон распределения их нормированной суммывне зависимости от типа распределения слагаемых стремится к нормальному закону распределения.

Приведем конкретную формулировку, уточняющую сказанное выше предложение.

Центральная предельная теорема

Если - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения со средним значениемM(X_i) = a и дисперсией , то при неограниченном увеличении числаn функция распределения случайной величины

стремится к функции распределения стандартного нормального закона при любом заданном значении их аргументов, т.е.

для любого x, где .

Содержание этой теоремы можно считать дальнейшим (после закона больших чисел) уточнением стохастического поведения среднего арифметического из ряда случайных величин. Она оправдывает, в частности, ту центральную роль, которую играет нормальное распределение в теории и практике статистических исследований.

Центральная предельная теорема может быть распространена в различных направлениях: когда случайные слагаемые не являются одинаково распределенными (теорема А.М. Ляпунова); когда компоненты X_i не являются независимыми. В данной лекции приведена формулировка Линдеберга и Леви [6].