Свойства математического ожидания дискретной случайной величины

1. M(C) = C

2. M(kX) = kM(X)

3. M(X+Y) = M(X)+M(Y)

4. M(X – Y) = M(X) – M(Y)

5. Если X и Y независимые случайные величины, то

M(XY) = M(X)M(Y)

6. M(X – C) = M(X) – C , в частности M(X – M(X)) = 0

Докажем для примера свойство 3) в предположении независимости случайных величин X и Y:

Учитывая, что

получим

.

Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины. Однако часто интересует вопрос об отклонении случайной величины от среднего значения. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Формула дисперсии имеет вид:

Для дискретной случайной величины формула дисперсии имеет вид:

,

где .

Если случайная величина Х имеет размерность, то оценивать отклонение такой величины логичнее в той же размерности. С этой целью вводят понятие среднего квадратического отклонения, как

Отметим свойства дисперсии без доказательства.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. 

3. Если случайные величины X и Y независимы, то

4. Для любых случайных величин справедливо равенство

Для дискретной случайной величины последнее равенство можно записать в виде

Математическое ожидание и дисперсия некоторых случайных величин

Из перечисленных свойств легко следуют утверждения.

Теорема 1. Пусть - независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания. Тогда, математическое ожидание суммы и средней арифметической этих величин соответственно равны

, где , (1)

. (2)

Теорема 2. Если - независимые случайные величины и имеют одинаковые дисперсии, равные, то дисперсии суммы и средней арифметической этих величин равны соответственно

, (3)

. (4)

Теорема 3. Если Х – число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно наступает с постоянной вероятностью p (p не мало), то математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х соответственно равны

. (5)

Доказательство: Пусть - число появления события А в каждом испытании. Очевидно, эти случайные величины не зависимы и имеют одинаковое распределение

Xi	0	1
Pi	q	p

Тогда

Случайную величину Х представим как сумму .

Тогда, согласно формулам (1) и (3) теорем 1,2, получим искомые равенства (5).

Теорема 4. Пусть случайная величина Х определена, так же как и в теореме 3. Назовем случайную величину Х/n – частостью события А в n независимых испытаниях. Тогда математическое ожидание и дисперсия такой случайной величины вычисляют по формулам

Доказательство легко следует из формул (2), (4) и теоремы 3.

Описанная в теореме случайная величина называется биномиальной или биномиально распределенной. Вероятности ее значений вычисляются по формулам Бернулли.

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности возможного значения X = k (числа появления события) используют формулу Пуассона

,

и говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

Теорема 5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины распределенной по закону Пуассона, и принимающей счетное множество значений, равны параметру распределения .