Формула Бернулли

Итак, будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых имеется только два исхода: либо наступает событие А, либо противоположное событие . Причем наступление события А происходит каждый раз с одинаковой вероятностью p.

Применительно к этой схеме независимых испытаний, ставится задача определения вероятности того, что приn независимых испытаниях событие А наступит m раз, а остальные n-m раз наступит событие . Описанный результат испытаний обозначим через. Тогда это событие можно представить в виде суммы:

Слагаемые попарно несовместны и их число равно .

Вероятность каждого слагаемого равна . Тогда вероятность событияB_m вычисляется по формуле Бернулли:

(1)

Рассмотрим обобщение формулы Бернулли. Пусть в каждом испытании может появиться одно из k несовместных событий A_i, и пусть P(A_i) = p_i. Поставим следующую задачу: Найти вероятность того, что событие А₁ появится m₁ раз, событие А₂ – m₂ раза, и т.д., событие А_k – m_k раз. Причемm₁+m₂+…+m_k = n. Тогда искомая вероятность равна

(2)

Примеры:

1) Статистикой установлено, что из тысячи родившихся детей в среднем рождается 485 девочек и 515 мальчиков. Найти вероятность того, что из пяти родившихся детей будет:

a) 3 девочки, б) не боле 3-х девочек, в) не менее двух и не более четырех девочек.

Решение: обозначим через А событие, состоящее в рождении девочки, а через m число родившихся девочек. Тогда:

а)

б)

в)

2) Проводится 10 бросаний игральной кости. Какова вероятность того, что один раз выпадет два очка, два раза три очка, четыре раза пять очков и три раза шесть очков?

Решение: Событие А_i – выпадение i очков при одном бросании игральной кости, i = 1,2, …, 6, m_i – число появления события A_i в 10 испытаниях. Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле (2)

Наивероятнейшее число

Зафиксируем число n, и будем рассматривать вероятность как функцию отm. Для найдем отношение

Тогда легко посчитать:

(3)

(4)

(5)

Таким образом, вероятность с увеличением числаm сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает. При этом, если np–q есть целое число, то максимальное значение вероятности принимается для двух значенийm, а именно для и.

Число m₀ наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если наибольшая.

Из определения следует

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний применение формулы Бернулли становится нецелесообразным в связи с громоздкостью вычислений. В таких случаях предпочтительнее применение предельных формул при неограниченном увеличении числа n.

Теорема: Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p, причем p не мало, то вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях наступит ровно m раз, когда число испытаний неограниченно возрастает, приближенно вычисляют по формуле:

(6)

Где - функция Лапласа или функция плотности вероятностей нормированного нормального распределения. Значения этой функции табулированы. Для того, чтобы пользоваться таблицей, необходимо знать следующие свойства функции Лапласа:

1) Функция - четная, т.е.для всех.

По этой причине в таблице указаны значения функции лишь для положительных аргументов.

2) , причем убывание значений функции настолько быстрое что присчитают.

Замечание: Точность формулы (6) существенно зависит от величин n и p. Анализ показывает, что точность улучшается с ростом произведения npq. Обычно формулу Лапласа используют при . Отсюда видно, что чем ближе одно из чиселp или q к нулю, тем больше должно быть число испытаний n. Пусть p мало. Нас интересует оценка вероятности появления события А в n независимых испытаниях некоторого числа раз для большого числа n. Примерами таких событий могут служить: рождение близнецов, авария на городском транспорте, достижение столетнего возраста и т.п. Искомую оценку дает предельная теорема Пуассона.

Теорема: Пусть число m появления события А фиксировано, а числа n и p меняются, а именно так, что величинаостается ограниченной. Тогда справедлива асимптотическая формула:

(7)

Доказательство: Подставим в формулу Бернулли , тогда

Очевидно , при фиксированном значенииk и .

Выражение так же стремится к 1 прии постоянном значенииm. Используя второй замечательный предел, найдем:

Из этих вычислений следует асимптотическая формула Пуассона:

.

Отметим, что в некоторых учебниках так же имеются таблицы значении вероятностей, определяемых формулой (7).

При решении практических задач гораздо чаще требуется определять вероятность появления события А в некотором промежутке. Такую задачу решает интегральная теорема Лапласа.