Формула полной вероятности

Пример 5. Детали поступают в О.Т.К. с двух конвейеров. Производительность второго конвейера вдвое больше первого. В каждой сотне деталей с первого конвейера в среднем две бракованные, а в каждой сотне деталей со второго – 3 бракованных.

Найти вероятность того, что взятая наудачу в О.Т.К. деталь бракованная.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что взятая на проверку деталь оказалась бракованная.

Рассмотрим два предположения:

Событие H₁ – взятая деталь изготовлена на первом конвейере.

Событие H₂ – взятая деталь изготовлена на втором конвейере.

Тогда событие А можно подразделить на частные случаи

A = H₁A+H₂A.

Поскольку эти слагаемые несовместны, то

Из условия задачи ясно, что P(H₁) = 1/3, P(H₂) = 2/3, P(A/H₁) = 0,02, P(A/H₂) = 0,03. Тогда

P(A) = 0,08/3 = 2/75

Повторяя подобные рассуждения, легко доказать теорему.

Теорема 7.(О полной вероятности)

Вероятность события А, которое может наступить, если наступит одно из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события А.

- формула полной вероятности.

Формула Бейеса

Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n , вероятности каждого из которых до проведения опыта имели определенные значения.

Предположим, что в результате опыта наступило событие А. Наступление этого события может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез Н_i. Поставим задачу отыскания вероятности P(H_i/A). Из теоремы умножения имеем:

.

Откуда находим

,

или записывая P(A) по формуле полной вероятности, получим

- формула Бейеса.

Пример 6. Пусть в условии предыдущего примера взятая в О.Т.К. деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на первом конвейере?

Решение: Воспользуемся формулой Бейеса

.

Пример 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,4. После стрельбы обнаружена одна пробоина. Найти вероятность, что она принадлежит первому стрелку.

Решение: Пусть событие А – в мишени одна пробоина.

Событие В₁ – в мишень попал 1-й стрелок, событие В₂ – в мишень попал 2-й стрелок. Рассмотрим различные предположения:

- в мишень не попал ни первый, ни второй стрелок,

- оба стрелка попали в мишень,

- попал только первый стрелок,

- попал только второй стрелок.

, ,

, ,

, ,

, .

Искомая вероятность равна

.

Лекция 5. Независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть имеется некоторое пространство элементарных событий U.

Под испытанием будем, как и прежде, понимать осуществление некоторого комплекса условий, в результате которого может произойти одно из событий пространства U.

Математической моделью последовательности n испытаний является новое пространство U_n элементарных событий, состоящее из точек (e₁, e₂, …,e_n), где e_i – произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.

Например, если U = {E₁, E₂, …, E₆}, где Е_i – число очков на выпавшей грани игральной кости при одном подбрасывании. Тогда пространство U₃, соответствующее трем испытаниям, состоит из 6³ = 216 точек (е₁, е₂, е₃). Здесь е₁ - это одно из событий пространства U и принимает 6 значений. Тоже самое для е₂ и е₃.

Пусть при s-том испытании пространство U подразделяется на k попарно несовместных случайных событий, т.е.

Событие - назовемi-ым исходом при s-том испытании.

Обозначим , тогда. Рассмотрим сложное событие.

n – последовательных испытаний назовем независимыми, если

для любых .

Теорема 1. Если данные n испытаний независимы, то любые m из них так же независимы.

Теорема 2. Для того чтобы n последовательных испытаний были независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

для любых чисел ,

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытанияs. Обозначим в этом случае ,.

В силу несовместности единственной возможности исходов имеем:. Эта схема была впервые рассмотрена Я. Бернулли приk = 2. У него: