Задание № 9

Дано уравнение f (x) = 0. Требуется: 1) графическим методом отделить корень этого уравнения; 2) найти этот корень с точностью до 0,1 методом деления отрезка пополам.

9.1.	2x + 5x = 0.	9.2.	х3 + 2х – 7 = 0	9.3.	х – (х + 1)3 = 0.
9.4.	ln x + 5x = 0.	9.5.	x ln x – 4 = 0.	9.6.	х3 + 3х – 7 = 0.
9.7.	ln x – 6 + 7x = 0.	9.8.	3x + 4x = 0.	9.9.	4x + 2x = 0.
9.10.	5x + 3x = 0.	9.11.	2x + 2x – 2 = 0.	9.12.	ln x + 3x – 2 = 0.
9.13.	2х + 5х – 3 = 0.	9.14.	ln x + 3x – 1 = 0.	9.15.	x ln x – 5 = 0.
9.16.	2ex – x2 = 0.	9.17.	ln x – 5 + 6x = 0.	9.18.	4x + 5x = 0.
9.19.	ex + 3x = 0.	9.20.	4x + 3x = 0.	9.21.	ex + 5x = 0.
9.22.	3x2 – 7ex = 0.	9.23.	3x + x = 0.	9.24.	2 ln x + 5x = 0.
9.25.	2x ln x – 7 = 0.	9.26.	х3 + 4х + 1 = 0.	9.27.	ln x – 7 + 8x = 0.
9.28.	23x + 7x = 0.	9.29.	34x + 7x = 0.	9.30.	25x + 7x = 0.

4. Решение типового варианта кр № 2

 Задание 6.Даны комплексные числаz₁ иz₂.а). Записать их в тригонометрической форме и отметить полученные числа на комплексной плоскости;б). Найти числаz₁+z₂,z₁–z₂, построить;в). Найти z₁ z₂,z₁ /z₂, записать в тригонометрической и алгебраической формах, сравнить результаты;г). Найти;д). Найти, построить.

Решение.а). Преобразуем числок виду, для этого умножим и разделим его на число, сопряженное к знаменателю

.

Запишем числа ив тригонометрической форме. Воспользуемся формулами

,

,

Точка попадает во вторую четверть, поэтому₁ =arctg(–4 / 3) + 180= = –53,13+ 180= 126,87= 5.

,

Точка попадает в четвертую четверть, поэтому₂ =arctg(–2 / 5) = –21,8и

= 5,39.

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 4).

б). Вычислимz₃ = z₁ +z₂,z₄ = z₁ –z₂. В алгебраической форме

z₃ =+;

z₄ =–.

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 9.1).

в). Вычислимz₁z₂иz₁ /z₂.

В алгебраической форме

;

;

в тригонометрической форме по формулам

имеем

= 55,39=

= 26,95,

.

Для проверки полученных результатов перейдем от тригонометрической формы записи комлексных чисел опять к алгебраической:

= 26,95= 26,95 (–0,26 + 0,966i) = –7,01 + 26,02i,

= 0,93 (–0,854 + 0,52i) = –0,79 + 0,48i.

Таким образом, расчеты выполнены верно.

в) Вычислим. По формулеимеем

= 5³

.

Для нахождения корней третьей степени воспользуемся формулой Муавра :



,

;

;

.

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 4).

Задание 7.Вычислить пределы

а)прих₀ = 2;х₀ = 1;х₀ .

б);в);г).

Решение.При вычислении пределов допустимы использование уже известных пределов и элементарные преобразования. В некоторых случаях бывает целесообразным использовать для приближенных вычислений при малых значенияхх (всюду) таблицу эквивалентных бесконечно малых:

1) х,	2) tg x х,	3) х,
4) х,	5) ,	6) х,
7) х,	8) х ln a,	9) aх.

а) 1.

а) 2. .

Неопределенности вида раскрываются путем сокращения на множитель, дающий 0. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле. Для этого решим уравненияи. Корни первого уравнения – {1, –2 / 3}, второго – {1, –3 / 2}, тогда

,.

Подставим полученные разложения под знак предела и получим

.

а) 3. .

Такие неопределенности раскрываются путем вынесения старшей степени неизвестной

.

б).

Для того, чтобы избавиться от иррациональностей, умножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

.

в).

Для раскрытия неопределенностей такого вида воспользуемся первым замечательным пределом и равенством.

Тогда

.

г) .

Для раскрытия неопределенностей вида воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

.

 Задание 8. Задана функция Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Решение. В интервалах (–; 0), (0, 2) и (2,) функция непрерывна. Исследуем функцию на непрерывность в точкахх₁= 0 их₂ = 2. Воспользуемся условием непрерывности функции в точкех₀.

1. исследуем точку х₁ = 0:

точка х₁ = 0 – точка разрыва функции 1 рода соcкачкомs(0) = –1;

2. исследуем точку х₂ = 2:

,

следовательно, в точке х₂ = 2 функция непрерывна. Построим график (см. рисунок 5).

 Задание 9.Дано уравнение .Требуется: 1) Графическим методом отделить корень этого уравнения. 2) Найти этот корень методом половинного деления с точностью = 0,1.

Решение. Для нашего примера примем ;.

Графики этих функций изображены на рисунке 6.

Как видно, . Рассмотрим отрезок [0, 1]. Имеем

;;.

Таким образом, на отрезке [0, 1] функция f (x) непрерывна, принимает значения разных знаков на концах отрезка [0, 1] и первая производная сохраняет знак на интервале (0, 1), поэтому на этом отрезке имеется единственный корень. Рассмотрим интервалы и :

,

т. е. на этих интервалах функция f (x) не меняет знак, следовательно, корней на них нет.

Найдем корень на отрезке [0, 1]. Итерационная процедура метода половинного деления будет иметь вид

1) ,< 0;

2) ,0,75³ + 0,75 – 1 = 0,172 > 0;

3) ,=f (0,625) = 0,625³ + 0,625 – 1 = –0,131 < 0;

4) ,=

f(0,688) = 0,688³ + 0,688 – 1 = 0,012 > 0;

5)[0,625; 0,688].

Так как длина последнего отрезка = 0,063 < = 0,1, то процесс закончен и приближенное значение корня . Возьмем в качестве корня середину отрезка, т. е.0,66.

Для проверки результатов расчетов вычислим f (0,66): , т. е. корень найден верно.