Задание № 4

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка , определить тип линии и построить эту кривую (табл. 4).

Таблица 4

№ вари-анта	Коэффициенты уравнений кривой					№ вари-анта	Коэффициенты уравнений кривой
	A	C	D	E	F		A	C	D	E	F
9.1.	1	1	–6	10	–15	9.16.	4	4	–12	4	–3
9.2.	1	4	0	–1	5	9.17.	9	5	18	–30	9
9.3.	2	0	8	–1	12	9.18.	36	–4	–72	16	–88
9.4.	9	4	–54	–32	109	9.19.	–4	9	16	18	29
9.5.	4	–9	–8	–36	–68	9.20.	4	36	–16	72	–92
9.6.	4	9	–40	36	100	9.21.	9	4	54	8	49
9.7.	9	–26	–54	–64	–127	9.22.	1	4	–2	56	181
9.8.	3	3	–24	12	58	9.23.	7	–2	–42	–16	17
9.9.	5	1	10	–6	–6	9.24.	9	–4	0	24	–72
9.10.	1	–1	6	0	8	9.25.	–1	4	–4	8	–4
9.11.	1	7	6	–28	–12	9.26.	1	1	6	–4	0
9.12.	3	–8	–6	–24	–36	9.27.	1	1	–4	6	0
9.13.	9	4	18	–8	–19	9.28.	1	4	4	–16	–8
9.14.	2	0	–4	–1	–4	9.29.	1	–1	0	–4	0
9.15.	9	–4	–36	–8	–4	9.30.	25	9	–100	54	–44

Задание № 5

Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию на промежутке от = 0 до= 2с шагом, равным; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат и назвать линию.

10.1. .	10.2. .	10.3. .
10.4. .	10.5. .	10.6. .
10.7. .	10.8. .	10.9. .
10.10. .	10.11. .	10.12..
10.13..	10.14..	10.15..
10.16. .	10.17. .	10.18. .
10.19. .	10.20. .	10.21..
10.22. .	10.23. .	10.24. .
10.25. .	10.26.	10.27. .
10.28.	10.29. .	10.30. .

5. Методические указания к контрольной работе № 2

5.1. Аналитическая геометрия

Выберем в пространстве две упорядоченные точки АиВ. Соответствующий направленный отрезокназываетсявектором.

Расстояние между точками АиВназываетсямодулем илидлинойвектора.Для модуля вектораиспользуются обозначения,а. Векторназываетсяединичнымвектором, если = 1.

Несколько векторов называются коллинеарными, если все они расположены на прямых, параллельных одной и той же прямой. Если векторыиколлинеарны, то записывают

Несколько векторов называются компланарными,если существует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти векторы расположены.

Составим суммы векторов, умноженных на числа

Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов.

Если некоторый вектор представлен в виде линейной комбинации каких-либо векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Базисом в пространственазывают любые три упорядоченных некомпланарных вектора. При этом любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Если () – базис в пространстве, то любой вектор

при этом числа называютсякоординатамивекторав базисе (). Записывают

Выберем в пространстве точку Ои возьмем упорядоченную тройку ортогональных единичных векторов () –базис в пространстве.

Совокупность точки Ои базиса () называетсяортогональной декартовой системой координат.При этом принята следующая терминология:О –начало координат; прямые, проходящие через начало в направлении базисных векторов –оси координат; плоскости, проходящие через оси координат –координатные плоскости. На рис. 5.1 показана правая система координат.

Е

x

b

слиА(х₁,у₁, z₁),B(х₂,у₂, z₂) – точки, заданные в декартовой системе координат, то координаты и модуль вектораможно найти по формулам

, (5.1)

. (5.2)

Скалярным произведениемдвух векторов называется число, равное произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между векторами

Если векторы заданы координатами, то скалярное произведение вычисляется по формуле

5.3)

С помощью скалярного произведения можно найти угол между векторами через их координаты:

(5.4)

Векторным произведением векторана векторназывается вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, а направление ортогонально к векторами, причем векторы () образуют правую тройку векторов (рис. 5.2).

.

Обозначается векторное произведение .

Если векторы заданы координатами, то векторное произведение находится по формуле

. (5.5)

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь треугольника , где,– векторы, на которых построен треугольник.

Смешанное произведениетрех векторов определяется следующим образом:

Модуль смешанного произведения выражает объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.

Если известны координаты векторов, то

(5.6)

Линейное уравнение вида

(5.7)

называется общим уравнением плоскости.

Вектор , составленный из коэффициентов при x, y, z , направлен по нормали к плоскости (5.7) и называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М() имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,, не лежащие на одной прямой, имеет вид

. (5.8)

Канонические уравнения прямой линии имеют вид

Здесь  некоторая фиксированная точка, принадлежащая данной прямой;  направляющий вектор прямой, т.е. вектор, лежащий на прямой, параллельной данной.

Уравнение прямой, проходящей через две точки , , имеет вид

. (5.9)

Если точки A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂) иM(x,y,z) лежат на одной прямой и, то координаты точкиMможно найти по формулам

;;,. (5.10)

Общее уравнение прямой на плоскостиимеет вид

,

причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Ненулевой вектор = (А,В), перпендикулярный к данной прямой, называетсянормальнымвекторомпрямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентомk имеет видy=kx + b(k=tg, где– угол наклона прямой к осиOх).

Условия параллельностииперпендикулярностидвух прямых с угловыми коэффициентамиk₁иk₂определяются соответственно равенствами

k₁=k₂,k₁= –1 /k₂.

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀,у₀), параллельно данной прямойy=k₂x + bимеет вид

. (5.11)

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀,у₀), перпендикулярно данной прямойy=k₁x + bимеет вид

. (5.12)

Расстояние d от точкиM(x₀,y₀) до прямойАх + Ву + С= 0 определяется по формуле

. (5.13)