9. Решение типового варианта контрольной работы № 3

Задание 1.Даны комплексные числаz₁ иz₂. Записать их в тригонометрической форме. Найти числаz₁z₂,z₁ /z₂,. Все результаты записать в тригонометрической и алгебраической формах. Отметить полученные числа на комплексной плоскости.

Решение.а). Преобразуем числок виду (8.1), для этого умножим и разделим его на число, сопряженное к знаменателю

.

Запишем числа ив тригонометрической форме. Воспользуемся формулами,

,Точкапопадает во вторую четверть, поэтому₁ =arctg(–4 / 3) = 12652

= 5.

,Точкапопадает в четвертую четверть, поэтому₂ =arctg(–2 / 5) = –2148и

= 5,39.

б). Вычислимz₁z₂иz₁ /z₂. В алгебраической форме

;

;

в тригонометрической форме

= 55,39=

= 26,93,

= ;

в)=+=,

,Точкапопадает в первую четверть, поэтому₃ =arctg(1) = 45

= 2,83.

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рис. 9.1, 9.2).

Для нахождения корней третьей степени воспользуемся формулой (8.5):



,

;

;

.

Полученные числа отметим на комплексной плоскости (рис. 9.3). 

Задание 2Методом деформации и сдвигов построить графики функцийа)у= 2sin(2x+/ 3);б)у= 2^{х – 1}+ 4.

Решение. а). Преобразуем данную функцию к видуу= 2sin2(x+/ 6). График функцииу= 2sin2(x+/ 6) строим следующим образом:

1. Строим график у=sinх.

2. Сжимаем полученный график в 2 раза вдоль оси Охи получаем графику=sin2х.

3. Сдвигаем график у=sin2х влево на/ 6 и получаем графику=sin2(x+/ 6).

4. Растягиваем график у=sin(2x+/ 3) в 2 раза вдоль осиОуи получаем требуемый график (рис. 9.4).

Р и с. 9.4

б). График функцииу= 2^{х – 1}+ 4 строим следующим образом:

1. Строим график у= 2^х.

2. Сдвигаем график у= 2^х вправо на 1 единицу и получаем графику= 2^{х – 1}.

3. Сдвигаем график у= 2^{х – 1}вверх на 4 единицы и получаем график функцииу= 2^{х – 1}+ 4 (рис. 9.5).

Р и с. 9.5

Задание 3. Линия задана параметрическими уравнениями(четырехлепестковая роза). Записать уравнение этой линии в декартовой системе координат и построить ее по точкам, даваяtзначения отt = 0 доt = 2cшагомh =/ 10.

Решение. Для построения кривой заполним табл. 7.

Таблица 7

t (рад.)	x	y	t (рад.)	x	y
0	2	0	p	–2	0
 / 10	1,539	–0,5	11p / 10	–1,539	0,5
 / 5	0,5	–0,363	6p / 5	–0,5	0,363
3 / 10	–0,363	0,5	13p / 10	0,363	–0,5
2 / 5	–0,5	1,539	7p / 5	0,5	–1,539
p / 2	0	2	15p / 10	0	–2
3p / 5	0,5	1,539	8p / 5	–0,5	–1,539
7p / 10	0,363	0,5	17p / 10	–0,363	–0,5
4p / 5	–0,5	–0,363	9p / 5	0,5	0,363
9p / 10	–1,539	–0,5	19p / 10	1,539	0,5
			2	2	0

Используя данные таблицы, построим кривую (рис. 9.6).

Задание 4.Вычислить пределы

а)прих₀ = 2;х₀ = 1;х₀ .

б);в);г).

Решение.При вычислении пределов допустимы использование уже известных пределов и элементарные преобразования. В некоторых случаях бывает целесообразным использовать для приближенных вычислений при малых значенияхх (всюду) таблицу эквивалентных бесконечно малых:

1) х,	2) tg x х,	3) х,
4) х,	5) ,	6) х,
7) х,	8) х ln a,	9) aх.

а) 1.

а) 2. .

Неопределенности вида раскрываются путем сокращения на множитель, дающий 0. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле. Для этого решим уравненияи. Корни первого уравнения (1, –2 / 3), второго (1, –3 / 2), тогда

,

.

Подставим полученные разложения под знак предела и получим

.

а) 3. .

Такие неопределенности раскрываются путем вынесения старшей степени неизвестной

.

б) .

Для того, чтобы избавиться от иррациональностей, умножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

.

в) .

Для раскрытия неопределенностей такого вида воспользуемся первым замечательным пределом и равенством.

Тогда

.

г) .

Для раскрытия неопределенностей вида воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

.

Задание 5.Найти точки разрыва функции и построить график функции

Решение. В интервалах (–; 0), (0, 2) и (2,) функция непрерывна. Исследуем функцию на непрерывность в точкахх₁= 0 их₂ = 2. Воспользуемся условием непрерывности функции в точкех₀(8.6)

1. исследуем точку х₁ = 0:

точка х₁ = 0 – точка разрыва функции соcкачкомs(0) = –1;

2. исследуем точку х₂ = 2:

,

следовательно, в точке х₂ = 2 функция непрерывна. Построим график (см. рис. 9.7).

Задание 6.Дано уравнение .Требуется: 1) Графическим методом отделить корень этого уравнения. 2) Найти этот корень методом половинного деления с точностью = 0,1.

Решение. Для нашего примера примем

;.

Графики этих функций изображены на рис. 9.8.

Как видно, . Рассмотрим отрезок[0, 1]. Имеем

;;.

Таким образом, на отрезке [0, 1] функцияf(x) удовлетворяет условиям теоремы 8.1 и на этом отрезке имеет единственный корень. Рассмотрим интервалыи:

,

т.е. на этих интервалах функция f(x) не меняет знак, следовательно, корней на них нет.

Найдем корень на отрезке [0, 1]. Итерационная процедура метода половинного деления будет иметь вид

1) ,< 0;

2) ,0,75³ + 0,75 – 1 = 0,172 > 0;

3) , = f (0,625) = 0,625³ + 0,625 – 1 =

= –0,131 < 0;

4) , =f (0,688) =0,688³ + 0,688 – 1 = = 0,014 > 0;

5)  [0,625; 0,688].

Так как длина последнего отрезка = 0,063 < = 0,1, то процесс закончен и приближенное значение корня . Возьмем в качестве корня середину отрезка, т.е.0,66.

Для проверки результатов расчетов вычислим f(0,66): , т.е. корень найден верно.