Lc-генераторы
Условия самовозбуждения, механизм возникновения гармонических колебаний и зависимость их частоты от параметров схемы, рассмотрим на примере современногоLC-генератора на аналоговой интегральной микросхеме — операционном усилителе — ОУ (рис. 9).
Усилитель автогенератора охвачен двумя цепями ОС, обеспечивающих режимы балансов амплитуд и фаз. Баланс амплитуд устанавливается цепью отрицательной ОС, содержащей резисторы R1иR2.С ее помощью задается необходимый коэффициент усиления собственно усилителя |К| = R2/R1. Баланс фаз обеспечивается цепью положительной ОС, состоящей из последовательно включенных резистораRи параллельного колебательного контура. Коэффициент передачи цепи положительной ОС определяется формулой:
Β=R0/(R0+R), (1)
Где Rо—резонансное сопротивление параллельного контура.
На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнение токов для неинвертирующего входа ОУ (аргумент tу функций тока и напряжений здесь и далее опущен для упрощения): ,iвх+iR+iCiL=0
Рис. 9 Схема LCгенератора на ОУ
Поскольку в идеальном ОУ iвх=0, то
IR +iC +iL =0 (2) Выразим эти токи через токи через соответствующие им напряжения
(3)
Введем известное соотношение Uвх =Uвых/K. Тогда, после дифференцирования по времени и несложных преобразований, уравнение (3) примет вид:
(4)
Поделив все члены формулы (3) на С, запишем
(5),
где
- резонансная частота контура.
Обозначив эквивалентный коэффициент затуханиякак
(6)
получим общепринятую в математике форму записи дифференциального уравнения, описывающего колебательный процесс рассматриваемом автогенераторе:
(7)
Уравнение (7) является нелинейным,так как коэффициент усиления К,а, следовательно, и параметр а, зависят от входного напряжения. Как показывает математический анализ, точное решение уравнения (7) очень сложно и громоздко, поэтому в теории генераторов используют приближенные методы. Наиболее простой (с достаточно грубым приближением) способ решения состоит в линеаризации уравнения, и его применяют для определения условий самовозбуждения генератора. Решение будет точным лишь при малых амплитудах входного напряжения, когда рабочий участок амплитудной характеристики усилителя можно считать линейным.
Результат решения линеаризированного дифференциального уравнения (7) описывает гармоническое колебание с экспоненциально изменяющейся амплитудой:
(8)
где U(0) – постоянная, определяемая начальными условиями, а
(9) – частота
свободных колебаний в контуре.
Рис.
10.Характер изменения амплитуды
колебаний вLC-генераторе:
а— α = 0,- б— α < 0; в— α = 0>0
Характер возникновения и изменения амплитуды выходных колебаний зависит от величины и знака параметра α, и соответственно, от коэффициента усиленияК.При работе автогенератора возможны три специфических случая (рис. 10).
1. α= 0,(К== 0). Генерируется входное гармоническое колебание с постоянной амплитудой и частотой (рис. 10).
2. а < 0, (K>1). Возникают выходные колебания, амплитуда которых нарастает по экспоненциальному закону (рис. 10,б).
3. α>0(К <1). Амплитуда выходных колебаний генератора затухает по экспоненциальному закону (рис. 10в).
Несложный анализ этих положений показывает, что самовозбуждение автогенератора, как и следовало ожидать, возможно при коэффициенте усиления К >1. Амплитуда выходного колебания в этом случае будет нарастать до перехода усилителя в нелинейный режим усиления. Из-за нелинейности амплитудной характеристики усилителя с цепью положительной ОС величинаКосбудет автоматически уменьшаться до единицы и завершится переводом автогенератора в стационарный режим. Отметим, что реальная форма кривой выходного колебания несколько отличается от синусоидальной. Однако на достаточно высоких частотах несложно реализовать колебательный контур с большой добротностью, поэтому выходное колебание может быть практически синусоидальным с частотой колебаний ωР= ωСВ.