20.2.3 Гамильтоновы и эйлеровы графы

Предположим, что имеем объект, функционирование которого описывается орграфом.

Предположим также, что неисправности объекта можно разделить на два типа:

• неисправность типа 1: приводит к потере вершины,

• неисправность типа 2: приводит к потере дуги.

При контроле работоспособности объекта с неисправностями типа 1 необходимо обойти все вершины.

При контроле работоспособности объекта с неисправностями типа 2 необходимо обойти все дуги (при этом будут пройдены и все вершины).

Очевидно, что время на проверку объекта в обоих случаях минимально, если вершины или дуги будут пройдены по одному разу.

Таким образом, задача построения проверок работоспособности объектов, функционирование которых может быть описано ориентированным графом, сводится к построению контуров или путей, включающих все вершины или все дуги по одному разу. Такие контуры или пути, а также графы, в которых их можно построить, называются гамильтоновыми (все вершины по одному разу) или эйлеровыми (все дуги по одному разу).

Граф, в котором можно обойти все вершины, побывав в них по одному разу, называется гамильтоновым. Если обход графа заканчивается в той же вершине, в которой начинался, то в результате получится гамильтонов цикл. Если обход графа закончится в другой вершине, то получится гамильтонова цепь.

Для неорграфа существует признак наличия гамильтонова цикла:

Если сумма степеней двух любых вершин графа больше или равна n, т.е.dega+degbn, то в графе можно построить гамильтонов цикл.

Следствие: Если у любой вершины графа degv_in/2, то в таком графе можно построить гамильтонов цикл.

Цикл (контур) и цепь (путь) называются эйлеровыми, если они содержат все ребра (дуги) графа по одному разу.

Признаком возможности построения такого цикла в неорграфе является четность степеней вершин графа. В орграфе полустепени захода и исхода должны быть равны в каждой вершине.

Признаком возможности построения эйлеровой цепи в неорграфе является наличие только двух вершин с нечетными степенями, а в орграфе наличие только двух вершин с разницей входящих и выходящих дуг, равной 1, причем в одной вершине должно быть больше выходящих дуг, а в другой входящих. Одна – будет началом, другая – концом цепи (пути).

Граф, который удовлетворяет условиям Эйлера, называется эйлеровым графом. Пример такого графа показан на рис. 20.7. У этого графа каждая вершина имеет четную степень, равную 2.

Цикл в этом графе a–e₁–b–e₃–c–e₂–a называется эйлеровым, так как он проходит через все ребра по одному разу.

Рисунок 20.7

Примечание.Другие понятия и определения теории графов даны в указателетерминов и определений теории графов(См. Приложение).

20.2.4 Вопросы для контроля к п. 20.2.1…20.2.3

1. Как организуется поиск в графах?

2. Что называется степенью вершины неорграфа? Орграфа? Чему равна сумма степеней вершин неорграфа? Орграфа?

3. Какой граф называется гамильтоновым? Какому условию отвечает гамильтонов граф?

4. Какой граф называется эйлеровым? Каким условиям отвечает эйлеров граф?

20.2.5 Эйлеровы графы

Понятия эйлеров граф, эйлеров цикл и эйлерова цепь были рассмотрены выше. Рассмотрим алгоритмы построения эйлерового цикла и эйлеровой цепи, и их применение для нахождения покрытия графа непересекающимися по ребрам цепями.