19.2.7 Вопросы для контроля к п. 19.2.6

1. Как определить – есть ли в графе маршруты длины k? Сколько таких маршрутов в графе? Какие они?

2. Как определить – есть ли в графе цикла длины k? Сколько таких циклов в графе? Какие они?

3. Как определить – есть ли в графе маршруты длины kс началом в заданной вершине? Сколько таких маршрутов в графе? Какие они?

4. Как определить – есть ли в графе циклы длины kс началом в заданной вершине? Сколько таких циклов в графе? Какие они?

5. Чем отличаются операции над графами п. 4.3 от аналогичных операций над логическими переменными и почему?

19.2.8 Кратчайший маршрут во взвешенном связном графе

Предварительное замечание.

Если имеем орграф, то можно удалить вершины источники и стоки, не являющиеся началом и концом искомого маршрута, и так как кратчайший путь не проходит дважды ни через дугу, ни через вершину, то дуги, входящие в вершину начала пути и выходящие из конца пути, можно также исключить (см. рис. 19.14). После их исключения могут образоваться вершины источники, изолированные и тупиковые вершины, и даже компоненты связности, не содержащие вершин начала и конца маршрута. Их также следует исключить.

В неорграфе можно исключить висячие вершины.

Рисунок 19.14

1. Волновой алгоритм

Вариант 1:

Вес ребра – 1 (нет ребра – 0).

s– начало маршрута,

t – конец маршрута.

Ищем маршрут между sиt.

Прямая фаза

Сначала все вершины не имеют меток.

1. Положим i= 0, присвоим вершинеsвесw(s) =i (т.е.w(s) = 0) .

2. Находим все не помеченные вершины, связанные ребром с вершиной (вершинами) с меткой i.

3. Если такие вершины есть, то помечаем их метками i = i + 1. Если вершинаtпомечена, то к п. 4. Если – нет, то к п. 2. Если таких вершин нет, а вершина t не помечена, тоtнедостижима изs. СТОП.

4. Длина кратчайшего маршрута от sкtравнаw(t). СТОП.

Обратная фаза (начинается с конца)

Принадлежность вершин кратчайшему маршруту определяется из условий:

Конечная вершина v_k = t.

Для v_k–1должно выполняться условиеw(t)– w(v_k–1) = 1.

Для v_k–2 w(v_k–1)– w(v_k–2) = 1

и т.д. пока не придем в вершину s.

Пример.На рис. 19.15 показан граф с разметкой вершин.

Маршрут найдите самостоятельно.

Рисунок 19.15

Длина маршрута (s,t) равна 3.

Вариант 2:

Каждое ребро имеет вес ℓ_ij– число, если ребро есть, или, если ребра нет. Петля имеет весℓ_ii= 0.

Ищем кратчайший маршрут между вершинами v₁иv_k.

Прямая фаза

1. Пометить вершины с номерами 1…nметками₁= 0,_i=,i= ,n– число вершин. Метки вершинv₂,…,v_nсчитаем временными.

2. Рассматриваем v₁. У вершин, смежных сv₁, временные метки меняем по следующему правилу:

– если _i–₁ℓ_1,i (ℓ_1,i – длина ребра, соединяющего вершинуv₁с вершинойv_i), то заменяем_iна_i=₁+ℓ_1,i

• если _i–₁ℓ_1,i, то_iне изменяем.

Присвоенные метки вершин считаем временными.

3. Среди вершин с временными метками выбираем вершину v_iс минимальным значением метки_i. Метку этой вершины делаем постоянной.

4. Рассматриваем вершины v_j, смежные сv_i, и изменяем меткиv_j:

– если λ_j– λ_ί>ℓ_ij, то λ_j= λ_ί+ℓ_ij,

– если λ_j – λ_ίℓ_ij, то не меняем.

5. Если метка конечной вершины v_k– постоянная, то к пункту 6, если нет, то к пункту 3.

Обратная фаза

5. Строим маршрут, начиная с v_k. λ_k– длина маршрута.

Принадлежность вершины v_k–1маршруту определяется равенством

λ_k–_k–1=ℓ_{k, k–1}

Вершина v_k–2 должна удовлетворять условию

_k–1–_k–2 =ℓ_{k–1, k–2}и т.д. идем до вершиныv₁.

Алгоритм пригоден как для неорграфов, так и для орграфов, и для весов (расстояний) отрицательных, но таких, чтобы не было в графе циклов с отрицательным весом. Отрицательный цикл может сделать длину маршрута как угодно малой.

Пример.Дан граф с весами ребер, показанными на рис. 19.16.

Найдите кратчайший маршрут (1,4) самостоятельно.

Ответ: 1,5,3,4; ℓ_1,4= 2.

Рисунок 19.16