19.2.2 Вопросы для контроля к п. 19.2.1

1. Что такое маршрут? В чем измеряется длина маршрута?

2. Что такое цепь? Простая цепь?

3. Что такое путь? Чем он отличается от цепи?

4. Что такое цикл? Простой цикл?

5. Что такое контур? Чем он отличается от цикла?

6. Поясните понятия связности и достижимости. Что такое сильная связность, слабая связность, просто связность, вершинная связность, реберная связность?

7. Чем отличается компонента связности от компоненты сильной связности?

8. Какая вершина называется точкой сочленения?

9. Какое ребро (дуга) называется мостом (перешейком)?

19.2.3 Метрические характеристики графа

Обозначим через d(a,b) длину (число ребер или дуг) кратчайшего маршрута между вершинамиaиb.

Для d(a,b) справедливы следующие утверждения

1) d(a, a) = 0,

2) d(a, b)  0,

3) d(a, b) = 0  a = b,

4) d(a, b) d(a, c) + d(c, b),

5) d(a,b) =d(b,a) – только для неорграфа расстояния симметричны.

Пример. В графе, показанном на рис. 19.9, для вершиных₁имеем

d(x₁,x₂) =d(x₁,x₄) =d(x₁,x₅) = 1,

d(x₁,x₃) = 2,

d(x₁,x_i) =d(x₁,x₃) = 2.

Рисунок 19.9

Результаты расчетов для других вершин представлены в матрице расстояний D, а максимальные кратчайшие расстояния – в столбцеe(x_i):

e(x_i)

D = .

Для каждой вершины x_iсуществует максимальный кратчайший маршрут до некоторой вершиныx_j, он называется эксцентриситетом вершины и обозначаетсяe(x_i). (См. столбец справа от матрицыD).

Максимальный из всех эксцентриситетов графа – это диаметр графа

D(G) = max e(x_i).

для графа примераD(G) = 2.

Минимальный из эксцентриситетов – это радиус графа

r(G) = min e(x_i).

для графа примераr(G) = 1.

Вершины, у которых e(x_i) =r(G) называются центральными.

Вершины периферийные – те, у которых e(x_i) =D(G).

Множество центральных вершин – центр, множество периферийных вершин – окраина.

Следовательно, вершина х₅– центр графа, так какe(x₅) =r(G) = 1. Вершиныx₁,x₂,x₃,x₄– окраина.

Под средним диаметром графа понимают величину

D_ср=,

где С– сумма кратчайших расстояний между всеми парами вершин графа,n– число вершин графа.

Для каждой пары вершин учитываем кратчайшие расстояния как d(a,b), так иd(b,a).

Найдем кратчайшие расстояния между всеми парами вершин графа G(6, 7) рис. 19.10:

d(a, b) = d(a, c) = d(b, a) = d(b, c) = d(c, a) =

= d(c, b) = d(c, d) = d(d, c) = d(d, e) = d(d, f) =

= d(e, d) = d(e, f) = d(f, d) = d(f, e) = 1,

d(a, d) = d(b, d) = d(c, e) = d(c, f) = d(d, a) = d(d, b) = d(e, c) = d(f, c)=

= d(a, e)= d(a, f) = d(b, e) = d(b, f) = d(e, a) = d(e, b) = d(f, a) = d(f, b) = 2.

Найдем сумму Свсех этих расстояний:С= 1∙14 + 2∙8 + 3∙8 = 54.

Число вершин графа G(6, 7)n= 6.

Рисунок 19.10

Найдем средний диаметр D_ср===1,8.

19.2.4 Обхват и окружение графа

Обхватом графа называют длину кратчайшего цикла (контура).

Для графа, показанного на рис. 19.11, кратчайший цикл:

a–e₇–e–e₈–d–e₃–a.

Длина этого цикла 3. Следовательно, обхват данного графа равен 3.

Окружением графа называют длину самого длинного простого цикла.

Для графа, показанного на рис. 19.11, окружение равно 5 – это длина цикла a,b,c,d,e,a.

19.2.5 Вопросы для контроля к п. 19.2.3 и п. 19.2.4

10. Поясните понятия теории графов: расстояние, эксцентриситет, радиус, диаметр, средний диаметр.

11. Что такое центр и окраина графа? Приведите примеры графов с двумя и тремя центральными вершинами.

12. Что такое обхват графа? Что такое окружение графа?

Рисунок 19.11

19.2.6 Маршруты и циклы

Довольно часто на графах возникают такие задачи:

1. Есть ли в графе маршруты длины k?

2. Сколько маршрутов длины kимеется в графе?

3. Каковы эти маршруты?

Аналогичные задачи возникают и для циклов.

Рассмотрим решение этих задач.

1. Есть ли в графе маршруты длиныk?

а) Составить матрицу смежности графа А.

б) Возвести Ав степень k, используя бинарные операции,,:

А¹А,

А²А*А,

А³А²*А, но неА*А²,

А^k=А^k–1А, но неА  А^k–1.

* – символ умножения.

в) Анализ элементов позволяет оценить наличие маршрутов длиныkмежду вершинамиiиj:

если = 1 , то маршруты длиныkв графе имеются;

если = 0 , то маршрутов длиныkмежду вершинами iиjнет.

2. Сколько маршрутов длиныkимеется в графе?

а) составить матрицу смежностиА,

б) возвестиАв степеньk, используя правила обычного умножения матриц,

в) анализ элементовпозволяет оценить количество маршрутов длиныk:

= число – количество маршрутов длиныk.

3. Какие маршруты длиныkимеются в графе?

а) Присвоить всем ребрам и дугам графа имена в виде букв с индексами или без них.

Составить матрицу смежности графа Атак, что если вершиныiиjсоединены ребром (дугой) с именемx, то элемент матрицыa_ijбудет равенx.

б) возвести матрицу смежностиАв степеньk, производя умножение и сложение по правилам:

Умножение – a&b=ab ba,

Сложение – avb = bva,

При этом c(avb) =cavcb acvbc,

aa= 0 – так как ищем кратчайшие маршруты и повторение ребер (дуг) недопустимо,

aab= 0,

0b= 0.

в) анализ элементовпозволяет определить маршруты длиныk.

При решении таких задач для маршрутов – предельный показатель степени k=n– 1, так как ищем кратчайшие маршруты.

Для циклов задачи решаются аналогично, только здесь:

– предельный показатель степени k=n,

– наличие циклов определяется по значениям элементов .

Если требуется определить кратчайшие маршруты или циклы с началом в заданной вершине, то в степень следует возводить строку матрицы смежности этой вершины.

Пример: Дан граф (см. рис. 19.12).

Рисунок 19.12

Требуется ответить на вопрос: В графе есть маршрут (1,3)?

Составим матрицу смежности

А¹ =.

В А¹элемента_1,3= 0, следовательно, маршрута (1,3) длины 1 в графе нет.

Возводим Ав степень 2 (умножение и сложение элементов булевские)

А² =*=.

Элемент = 0. Маршрута (1,3) длины 2 в графе нет.

Возводим Ав степень 3.

А³ = A² * A = * = .

Элемент = 1, следовательно, маршрут (1,3) длины 3 в графе есть.

Сам маршрут находится так:

=а_2,3.

Так как =а_1,4а_4,2 , то

=а_1,4 а_4,2а_2,3

и маршрут будет таким 1–4–2–3 (читаем индексы).

Для получения всех кратчайших маршрутов воспользуемся методом, изложенным в п. 3.

Присвоим всем ребрам и дугам имена в виде букв (см. рис. 19.13) и составим матрицу смежности

A=.

Для получения всех кратчайших маршрутов длины kвозведемAвk–ю степень, выполняя умножение и сложение по правилам п. 4.3.

анализ элементовпозволяет определить маршруты длиныk.

Маршруты здесь задаются последовательностью ребер и дуг.

Возводим матрицу смежности во вторую степень

A²=*=.

Получили все маршруты длины 2.

Возводим матрицу смежности в третью степень (у графа число вершин n= 4, поэтому 3 – это предельный показатель степени, если ищем кратчайшие маршруты)

A³=*=.

Элементы содержат маршруты длины 3.