11 Лекция № 10. Законы и тождества булевой алгебры
Продолжительность:2 часа (90 мин.)
11.1 Ключевые вопросы
11 Лекция № 10. Законы и тождества булевой алгебры 1
11.1 Ключевые вопросы 1
11.2 Текст лекции 1
11.2.1 Законы и тождества булевой алгебры 1
11.2.2 представление логических функций в системе И, ИЛИ, НЕ 2
11.2.3 Построение таблиц истинности 2
11.2.4 Преобразование КНФ в ДНФ и ДНФ в КНФ 4
11.2.5 Доказательства равенства логических функций 5
11.2.6 Разложение логических функций по переменным 6
11.2.7 Вопросы для контроля 8
11.2 Текст лекции
11.2.1 Законы и тождества булевой алгебры
Законы нуля: a
0
= a; a
0
= 0;
0
a
b
c
…=0.Законы единицы: a
1
= a;
a
1
= 1; 1
a
b
c
…=
1.Законы повторения: a
а
= a; aа
= a;
a
а
а
а
…=
a; aааа…=
a.
Закон двойного отрицания:
=a.Законы дополнительности: а
=
0; a
=
1.Коммутативные законы:ab = ba; a
b
= b
a.Ассоциативные законы:a(bc) = (ab)c=abc;
a
(b
c)
= (a
b)
c =
a
b
c.
Дистрибутивные законы:
а) конъюнкции относительно дизъюнкции:
a (b
c)
= ab
ac;
ad(b
c)
= abd
acd;
б) дизъюнкции относительно конъюнкции:
a
bc
= (a
b)(a
c);
a
bc
d
= (a
b
d)(a
c
d);
доказательство: рассмотрим правую часть первой формулы
(a
b)(a
c)=
aa
ac
ba
bc,
так как aa =
a, то
a
ac
= a(1
c)
= a и a
ab
= a(1
b)
= a.
Следовательно, (a
b)(a
c)
= aa
ac
ba
bc
= a
bc.
Законы поглощения:
a(a
b)
= a, доказательство:
a(a
b)
= aa
ab
= a(1
b)
= a1 = a.
a(a
b)(a
c)…=
a;
(a
b)(a
b
c)
= a
b;
ab
abc
= ab.
a(
b)
= ab;
доказательство:
a(
b)
= a
ab
=0
ab
= ab.
Законы склеивания:
ab
a
=
a,
доказательство:
ab
a
=
a(b
)
= a1 = a;
(a
b)(a
)
= a, доказательство:
(a
b)(a
)
= a
=a– см. доказательство
дистрибутивного закона 8,б.
Законы обобщенного склеивания: (доказательства см. Лекцию№11)
Законы де Моргана:
; 
;
;
.
Разложение функций по переменным:
f(a,b,c,…,w)
= af(1,b,c,…,w)
f(0,b,c,…,w);
(1)
f(a,b,c…w)
= [a
f(0,b,c,…,w)]
[
f(1,b,c,…,w)];
(2)
af(a,b,c,…,w) = af(1,b,c,…,w);
a
f(a,b,c,…,w)
= a
f(0,b,c,…,w);
f(a,b,c,…,w)
=
f(0,b,c,…,w);
f(a,b,c,…,w)
=
f(1,b,c,…,w).
Законы справедливы и если вместо переменных подставить правильные логические выражения (формулы).
Доказательство наиболее простых законов производится с помощью аксиом, а других с использованием уже доказанных законов.
Доказательство
формул типа (1) и (2) производят с помощью
подстановок а= 1,
=
0, затема= 0,
=
1.
В общем случае для доказательства законов и тождеств в булевой алгебре применяют два подхода:
– первый – с помощью таблиц истинности, которые составляются для левой и правой частей предполагаемого тождества и сравниваются;
– второй – с применением преобразований логических выражений в левой и правой части предполагаемого тождества с помощью уже доказанных законов и тождеств и последующим сравнением результатов.
(Примеры преобразований см. ниже.)
11.2.2 Представление логических функций в системе и, или, не
Для перехода в систему И, ИЛИ, НЕ запишем для соответствующей функции СКНФ, если в ее таблице истинности меньше 0, чем 1, или СДНФ, если в ее таблице истинности меньше 1, чем 0, или обе эти формы при равенстве 0 и 1.
;
;
ab=
;
;
.